Кинематические связи. Часть 6

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1.

  С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Шарниры $A$ и $C$ начали двигать вдоль соединяющей их прямой так, как показано на рисунке. С какой скоростью $u$ движется шарнир $D$, если известно, что $\upsilon=6$ см/с?

К задаче 1

Рассмотрим пока шарнир сам по себе. Если подвинуть точку $A$ на малое расстояние $\Delta x$, то точка $C$ подвинется на $\Delta x+2\Delta x=3\Delta x$, а точка $D$ - на расстояние $\Delta x+2\Delta x+\Delta x =4\Delta x$. Тогда, переходя к скоростям, можно записать, что

$$\upsilon_C=3\upsilon_A$$

$$\upsilon_D=4\upsilon_A$$

Тогда $\upsilon_D=\frac{4}{3}\upsilon_C$.

Перейдем в систему отсчета, где точка А неподвижна. В этой системе отсчета скорость точки $C$ равна $6\upsilon$, а скорость точки $D$ тогда

$$\upsilon_D*=\frac{4}{3}\cdot 6\cdot 6=48$$

Но надо не забыть вернуться в лабораторную систему отсчета, тогда

$$\upsilon_D=\upsilon_D*-5\upsilon=48-30=18$$

Ответ: 18 см/с.

Задача 2.

С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если масса всей конструкции составляет $m=1,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 2

Аналогично предыдущей задаче, если $D$ приподнять на $\Delta x$, $BC$ сократится на $2\Delta x$, $AD$ - на $\Delta x$. Вся конструкция сократится по длине на $4\Delta x$, а так как она симметричная, то центр тяжести приподнимется на $2\Delta x$.

Таким образом, сила упругости нити совершила бы работу

$$A=T\Delta x$$

Эта работа виртуальная, она пошла бы на поднятие центра масс системы, а значит, ее можно записать как

$$A=mg\cdot 2\Delta x$$

Сопоставляя правые части, имеем

$$T=2mg=2\cdot1,1\cdot 10=22$$

Ответ: 22 Н.

Задача 3.

С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. К каждому из центральных шарниров $A, B, C$ и $D$ прикрепили по небольшому шарику массами $m, 2m, 3m$ и $4m$ соответственно. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если $m=0,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 3

Аналогично предыдущей задаче, если нить сократится по длине на $\Delta x$, $BC$ сократится на $2\Delta x$, $AD$ - на $\Delta x$. Груз массы $2m$ поднимется на $\Delta x$, массой $3m$ - на $3\Delta x$, груз массой $4m$ - на $4\Delta x$. Работа силы натяжения нити пошла на увеличение потенциальной энергии системы.

$$ T\Delta x=2mg\Delta x+3mg\cdot 3\Delta x+4mg\cdot4\Delta x$$

$$ T\Delta x=27mg\Delta x$$

$$T=27mg=27\cdot0,1\cdot10=27$$

Ответ: 27 Н.

Задача 4.

С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. После этого к центральному шарниру $B$ подвесили малый груз массой $m$ на нити длиной $1,5L$. Короткую нить перерезали, в результате чего система пришла в движение. Какую скорость будет иметь шарнир $D$ в момент, когда груз окажется в центре тяжести системы? Трением в шарнирах пренебречь. Обе нити невесомы и нерастяжимы.

К задаче 4

Когда меньшую нить перережут, подвешенный груз окажется в центре масс системы – это следует из симметрии. То есть длина центральной секции шарнирной конструкции станет равна $3L$. А значит, длины верхней и нижней секций станут равны $1,5L$. Аналогично первой задаче, если скорость точки $B$ равна $\upsilon$, то скорость точки $C$  - $3\upsilon$, скорость точки $D$ - $4\upsilon$, а скорость грузика совпадет со скоростью точки $B$.

Запишем закон сохранения энергии для системы. Сначала у системы была потенциальная энергия, которую будем отсчитывать от точки $A$.

$$E_1=-mgL-2,5mgl-3mgL-4mgl=-10,5mgL$$

После части системы имеют не только потенциальную, но и кинетическую энергию:

$$E_2=-1,5mgL-3mgL-4,5mgL-6mgL+\frac{ m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot9\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot 16\upsilon^2}{2}$$

$$E_1=E_2$$

$$-10,5mgL=-15mgL+13,5 m\upsilon^2$$

$$\upsilon^2=\frac{gL}{3}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{gL}{3}}=1$$

Таким образом, скорость точки $D$

$$\upsilon_D=4$$

Ответ: 4 м/с