Кинематические связи. Часть 5

Исследуем движение без отрыва. Закон палочки может пригодиться, а также иногда помогает пересадка в другую систему отсчета.

Задача 1.

  Скорость монеты, соскальзывающей с  клина, изображена на рисунке. Графическим построением найдите скорость клина.

К задаче 1

Понятно, что клин будет тоже скользить, и его скорость может быть направлена только горизонтально. Для того, чтобы построить ее, построим вектор относительной скорости монеты – той, с которой она движется по поверхности клина. Сумма относительной скорости и переносной (скорости клина $u$) даст абсолютную скорость монеты.

Монета и клин

Задача 2.

Луна обращена к земле всегда одной своей стороной. Сколько оборотов совершает она вокруг своей оси за время полного оборота вокруг Земли?

Решение можно пояснить рисунком:

К задаче 2

Пометим точкой ту сторону Луны, которая обращена к Земле. Становится понятно, что Луна совершает один оборот вокруг своей оси за время полного оборота вокруг Земли.

Задача 3.

Бусинка может двигаться по кольцу радиуса $R$, подталкиваемая спицей, равномерно вращающейся с угловой скоростью $\omega$ в плоскости кольца. Ось вращения спицы находится на кольце.  Определите ускорение бусинки.

К задаче 3

Бусинка будет двигаться вдоль спицы со скоростью $\upsilon_{\parallel}$, и, поскольку спица вращается, то у бусинки будет составляющая скорости, перпендикулярная спице: $\upsilon_{\perp}$.

$$\upsilon_{\perp}=\omega r=\omega\cdot 2R\cos\alpha$$

С другой стороны,

$$\upsilon_{\perp}=\upsilon \cos\alpha$$

Так как скорость бусинки, движущейся по окружности, направлена перпендикулярно радиусу.

Тогда

$$\omega\cdot 2R\cos\alpha=\upsilon \cos\alpha$$

И

$$\upsilon=2R\omega=const$$

Так как скорость по модулю не меняется, то у бусинки есть только нормальное ускорение

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\frac{4\omega^2R^2}{R}=4\omega^2R$$

Задача 4.

Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает со скоростью $\upsilon$ от стены.

К задаче 4

За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние

$$\Delta l=\upsilon \Delta t$$

Бревно и грузовик

При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла

$$\Delta \alpha=\frac{\Delta x }{R}$$

Угловая скорость определяется как

$$\omega=\frac{\Delta \alpha }{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$

Но $\Delta x =\upsilon \Delta t\sin \alpha$.

$$\omega=\frac{\upsilon \Delta t\sin \alpha }{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin \alpha }{R}$$

Также можно записать, что

$$H=R\sin \alpha$$

С учетом этого

$$\omega=\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}=3,6$$

Ответ: 3,6 рад/с.