Кинематические связи. Часть 4

Здесь собраны простые и сложные задачи, для повторения того, что было в предыдущих 3-ех статьях.

Задача 1.

 На двугранном угле находится тонкий стержень, нижний конец которого перемещают со скоростью  $\upsilon=50$ мм/с вдоль горизонтали.

Найдите скорость $u$ верхнего конца стержня в момент, когда OA:OB=2:1. Угол $\alpha=60^{\circ}$. Концы стержня не отрываются от поверхностей двугранного угла. Ответ выразите в мм/с, округлив до целых.

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем длину стержня.

$$AB^2=4x^2+x^2-2\cdot 2x\cdot x\cdot \cos 120^{\circ}$$

$$AB^2=5x^2+2x^2$$

$$AB=x\sqrt{7}$$

Теперь можно определить другие углы треугольника $AOB$. Снова применим ту же теорему:

$$4x^2=x^2+7x^2-2\cdot x\sqrt{7}\cdot x\cdot \cos\beta$$

$$\cos \beta=\frac{2}{\sqrt{7}}$$

$$x^2=4x^2+7x^2-2\cdot2x\cdot x\sqrt{7}\cdot\cos\gamma$$

$$\cos\gamma=\frac{5}{2\sqrt{7}}$$

По закону палочки

$$u \cos\gamma=\upsilon \cos\beta$$

$$u=\frac{\upsilon \cos\beta }{\cos\gamma }=\frac{50\cdot 2\cdot 2\sqrt{7}}{5\sqrt{7}}=40$$

Ответ: 40 мм/с.

 

Задача 2.

Стержень AB скользит по горизонтальной поверхности так, что в некоторый момент скорость точки A  $\upsilon=10$ м/с направлена под углом $\alpha=60^{\circ}$ к прямой AB. Известно, что в этот же момент скорость точки B ($u$) направлена вдоль прямой CD, которая ориентирована к стержню также под углом $\alpha$.

В какую сторону относительно плоскости рисунка направлена скорость точки B – вверх или вниз?

Чему равен модуль скорости $u$? Ответ выразите в м/с, округлив до целых.

По закону палочки скорость точки В должна быть направлена вниз и равна

$$\upsilon \cos\alpha=u\cos(180^{\circ}-\alpha)$$

$$u=\upsilon=10$$

Ответ: 10 м/с

 

Задача 3.

Плоский диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска. На рисунке показаны точки A и B, принадлежащие диску и отмечены векторы их мгновенной скорости. Для удобства нанесена координатная сетка. Определите координаты точки O, через которую проходит ось вращения диска.

Для того, чтобы найти ось вращения, надо определить, где мгновенный центр вращения, а для этого нужно найти, где пересекутся перпендикуляры к векторам скоростей:

Таким образом, координаты точки О $(-2; 5)$.

 

Задача 4.

По гладкой горизонтальной поверхности скользит пластинка, на которой отмечены три точки A, B и C, лежащие в вершинах прямоугольного треугольника с углом $\alpha=30^{\circ}$ при вершине B.

В некоторый момент времени скорость точки A равна по модулю  $\upsilon=6$ см/с и направлена под углом $\alpha=30^{\circ}$ к катету BC. Известно также, что скорость точки B в этот момент времени направлена перпендикулярно катету BC. Определите модуль скорости точки C. Ответ выразите в см/с, округлив до целых.

Так же, как и в предыдущей задаче, определяем направление скорости точки В: вниз. Тогда точка О – центр вращения, так как в ней пересекутся перпендикуляры к векторам скоростей. Но из геометрии $AO$ - биссектриса. Поэтому она разделит сторону треугольника $BC$ на отрезки, относящиеся по длине как 2:1.

По теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{4a^2-a^2}= a\sqrt{3}$$

$$\frac{CO}{OB}=\frac{1}{2}=\frac{\frac{ a\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 a\sqrt{3}}{3}}$$

По закону палочки

$$\upsilon \cos 60^{\circ}=u_{\parallel}$$

$$u_{\perp}= u_{\parallel}\cdot \operatorname{tg} 60^{\circ}$$

$$u_{\perp}=\upsilon \sin 60^{\circ}$$

$$u=\sqrt{ u_{\perp}^2+ u_{\parallel}^2}=\sqrt{\upsilon^2 \sin^2 60^{\circ}+\upsilon^2 \cos^2 60^{\circ}}=\sqrt{\upsilon^2}=\upsilon=6$$

Определим угловую скорость:

$$\omega=\frac{\upsilon}{OB}=\frac{9}{a\sqrt{3}}$$

$$u_{C\perp}=\omega\cdot OC=3$$

Ответ: 3 см/с

 

Задача 5.

Стержень AB длиной $2R$ касается уступа K полусферической лунки радиуса $R$.Точка A движется с постоянной по модулю скоростью  $\upsilon=10$ см/с по гладкой поверхности лунки, начиная из точки N, к точке M.  Найдите модуль скорости точки B в момент времени, когда стержень AB составляет угол $\alpha=29^{\circ}$ с горизонтом. Ответ выразите см/с, округлив до целых.

По закону палочки точка B двигается вдоль стержня с такой же скоростью, что и точка А. Кроме того, точка К – мгновенный центр вращения, поэтому стержень поворачивается относительно этой точки, и $\omega$ обеих точек одинакова. Так как треугольник $KOA$ равнобедренный (образован радиусами), то оба его острых угла равны $\alpha$. Точка A все время находится на одном и том же расстоянии от точки О, поэтому скорость точки А перпендикулярна OA, и значит, в треугольнике скоростей $\upsilon-\upsilon_x-\upsilon_y$ один из острых углов - $\alpha$.

Таким образом,

$$\upsilon_x=\upsilon \sin\alpha$$

$$\upsilon_y=\upsilon \cos\alpha$$

Как уже замечено, угловая скорость точек A и B одна и та же, следовательно,

$$\frac{u_y}{BK}=\frac{\upsilon_y}{ KA }$$

$$u_y=\frac{\upsilon_y \cdot BK }{ KA }=\frac{\upsilon \cos \alpha \cdot BK }{ KA }$$

Определим длину $KA$ по теореме косинусов:

$$KA^2=2R^2-2R^2\cos122^{\circ}$$

$$KA=R\sqrt{2(1- \cos122^{\circ})}$$

$$BK=2R- R\sqrt{2(1- \cos122^{\circ})}$$

$$BK=0,25R$$

$$AK=1,75R$$

$$u_y=\frac{\upsilon \cos \alpha \cdot BK }{ KA }=\frac{\upsilon \cos 29^{\circ} \cdot 0,25 }{1,75}=1,25$$

$$u_x=10\cdot\sin{29^{\circ}}=4,85$$

$$u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=5$$

Ответ: 5 см/с.