Кинематические связи. Часть 2.

Стартовые задачи по кинематическим связям. Продолжаем использовать закон палочки.

Задача 1.

 По гладкому горизонтальному столу скользит однородная линейка длиной $l=25$ см. В некоторый начальный момент времени скорости концов линейки направлены перпендикулярно к ней в разные стороны и равны $\upsilon_1=10$ см/с и $\upsilon_2=30$ см/с. Какая скорость будет у центральной точки линейки через время $t=5$ с после начального момента времени. За какое время $\tau$ от начального момента линейка повернется на угол $90^{\circ}$ от исходного положения?

К задаче 1

Так как скорости перпендикулярны линейке, то очевидно, что линейка вращается вокруг точки, принадлежащей ей.

$$\upsilon_1=\omega x$$

$$\upsilon_2=\omega(L-x)$$

Тогда

$$\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}=\frac{L-x}{x}=\frac{L}{x}-1$$

$$\frac{L}{x}=1+\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}$$

$$x=\frac{L}{1+\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}}=\frac{0,25}{1+3}=\frac{1}{16}$$

Так как

$$\upsilon_1=\omega x$$

Определим угловую скорость

$$\omega=\frac{\upsilon_1}{x}=16\upsilon_1=1,6$$

И найдем скорость центра

$$\upsilon=\omega\cdot\left(\frac{L}{2}-x\right)=1,6\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\right)=0,1$$

Если перпендикулярность скоростей сохраняется, то $\tau=\frac{T}{4}=\frac{2\pi}{4\omega}=1$

Если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью $\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}$ в направлении скорости $\upsilon_2$, то концы линейки будут иметь скорости $\frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{2}$, направленные перпендикулярно линейке в разные стороны. В этой системе отсчета есть только вращательное движение вокруг центральной точки.

$$\tau=\frac{\pi L}{4}\div \frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{2}=\frac{\pi L}{2(\upsilon_2+\upsilon_1)}=1$$

Так как центр масс покоится в этой СО, следовательно, скорость центра масс относительно земли равна $\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}$. Так как стол гладкий, то импульс сохраняется и скорость центра равна 10 см/с в любой момент времени, не только через 5 с.

Задача 2.

Стержень длиной $l$ движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны  $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$, причем $\upsilon_1$ направлена под углом $\alpha$ к стержню. Какова угловая скорость вращения стержня?

1 способ решения, больше физический.

К задаче 2, первый способ

По закону палочки

$$\upsilon_{1\parallel}=\upsilon_{2\parallel}$$

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью $\upsilon_1\cos\alpha$. В этой системе отсчета $\upsilon_{\parallel}=0$. Вообще любое движение можно представить как суперпозицию  поступательного и вращательного движений. А $\omega$ не меняется при переходе из ИСО в ИСО! Угловую скорость можно найти (см. предыдущую задачу) как

$$\omega=\frac{\upsilon_{1\perp}+\upsilon_{2\perp}}{l}$$

$$\upsilon_1\cos\alpha=\upsilon_2\cos\beta$$

$$\cos\beta=\frac{\upsilon_1\cos\alpha }{\upsilon_2}$$

$$\sin \beta=\sqrt{1-\frac{\upsilon_1^2\cos^2\alpha }{\upsilon^2_2}}$$

$$\omega=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}$$

2 способ решения, больше математический, через мгновенный центр скоростей.

Точка О – мгновенный центр скоростей, мы нашли ее, проведя перпендикуляры к векторам скоростей. В точке пересечения перпендикуляров как раз и находится точка О.

Из точки О опустим перпендикуляр на стержень:

К задаче 2, второй способ

$$\angle O=\alpha+\beta$$

Длину стержня можно найти так:

$$l=r_1\sin\alpha+r_2\sin\beta$$

$$h= r_1\cos\alpha =r_2\cos \beta $$

Тогда

$$ r_1=\frac{ r_2\cos \beta }{\cos\alpha }$$

По закону палочки

$$\upsilon_1\cos\alpha=\upsilon_2\cos\beta$$

Откуда

$$\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$$

$$l=r_1\sin\alpha+r_2\sin\beta=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} r_2\sin\alpha+ r_2\sin\beta $$

Откуда

$$r_2=\frac{l}{\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} \sin\alpha+ \sin\beta }=\frac{l \upsilon_2}{ \upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta }$$

$$\upsilon_2=\omega r_2$$

$$\omega=\frac{\upsilon_2}{r_2}=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}$$

Ответ: $\omega=\frac{\upsilon_2}{r_2}=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}$.