Кинематические связи. Часть 14

Продолжаем разбор задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Двигаемся к более сложным  задачам.

Задача 1. В механической системе, схема которой представлена на рисунке, известны скорости, с которым движутся точки $A, B$ и $C$ для земного наблюдателя, причем $\upsilon=2$ см/c. С какой скоростью относительно земли движется кубик? Ответ дать в см/с, округлив до целых. Нити невесомы и нерастяжимы. Проскальзывания нет.

Перейдем в ИСО, связанную с верхним блоком. В ней он неподвижен. Поэтому в ней концы нити имеют «скорость удаления»,  равную $2\upsilon+5\upsilon=7\upsilon$. А поскольку груз поднимается только на $x$ при выбирании длины нити $2x$, то скорость кубика в этой ИСО равна $3,5\upsilon$. Ну и не забудем вернуться в лабораторную ИСО, в котрой скорость кубика будет $3,5\upsilon+\upsilon=4,5\upsilon$, или 9 см/с.

Ответ: 9 см/с

 

Задача 2.

Система состоит из неподвижного и подвижного блоков, а также двух грузов $m_1$ и $m_2$, связанных легкой нерастяжимой нитью. Известно, что груз $m_1$ движется вниз с ускорением $a_1=2$ м/с$^2$. Массой блоков и трением в системе пренебречь. Определить ускорение груза $m_2$. Найдите отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$.

Так как при опускании груза $m_1$ на $2x$ груз $m_2$ проходит расстояние $x$, то $a_2=\frac{a_1}{2}=1$  м/с$^2$.

$$m_2a_2=2T-m_2g$$

$$m_1a_1=m_1g-T$$

Или

$$m_2a_2=2T-m_2g$$

$$4m_1a_2=2m_1g-2T$$

Сложим уравнения:

$$4m_1a_2+m_2a_2=2m_1g-m_2g$$

$$m_1(4a_2-2g)=m_2(-a_2-g)$$

$$\frac{m_1}{ m_2}=\frac{a_2+g}{2g-4a_2}=\frac{11}{16}$$

Ответ: $a_2=1$ м/с$^2$, $\frac{m_1}{m_2}=0,7$.

Задача 3.

На гладкой горизонтальной поверхности покоится уголок массы $M=1$ кг, который с помощью легкой нити и двух блоков соединен со стенкой и бруском массы $m=300$ г. Брусок касается внутренней поверхности уголка. Нити, перекинутые через блок, прикрепленный к стене, натянуты горизонтально. Вначале систему удерживают в состоянии покоя, а затем отпускают.  Найдите ускорение уголка. Блоки легкие, трение в системе отсутствует.

Брусок опускается на $x$, тогда уголок проходит $\frac{x}{2}$. Поэтому $a_1=\frac{a_2}{2}$.

$$ma_1=mg-T$$

$$(M+m)a_2=2T$$

Перепишем:

$$4ma_2=2mg-2T$$

$$(M+m)a_2=2T$$

Сложим уравнения:

$$(M+5m)a_2=2mg$$

$$a_2=\frac{2mg}{M+5m}=\frac{6}{2,5}=2,4$$

Ответ: 2,4 м/с$^2$

 

Задача 4.

Блок склеен из двух дисков с радиусами $R$ и $2R$, насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к которой прикреплен груз массой $m$, как это показано на рисунке.  Нить охватывает также нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй груз массой $3m$ прикреплен к оси нижнего блока. Блоки невесомы. Определите ускорения грузов $m$ и $3m$.

$$3ma_1=3mg-2T$$

$$ma_2=T-T_1+mg$$

Надо учесть, что $T_1\cdot 2R=TR$, то есть $2T_1=T$. Это приведет к тому, что при повороте блока против часовой слева высвободится вдвое больший кусок нити, чем намотается слева. Да еще,  если груз $m$ опустится на $2x$, груз $3m$ опустится на $x$. Поэтому $a_2=4a_1$. Подставим это:

$$3ma_1=3mg-2T$$

$$4ma_1=T-\frac{T}{2}+mg$$

Умножим второе уравнение на 4:

$$16ma_1=2T+4mg$$

Сложим с первым уравнением:

$$19ma_1=7mg$$

$$a_1=\frac{7g}{19}=3,7$$

$$a_2=14,7$$

Ответ: $a_1=3,7$ м/с$^2$, $a_2=14,7$ м/с$^2$.

Задача 5.

На столе лежит гладкая подставка массой $6m$, на которой покоится шайба массой $m$. Они связаны с помощью нерастяжимой нити и четырех блоков. С помощью другой нерастяжимой нити и еще одного блока подставку связывают с грузом массы $3m$, в результате чего система приходит в движение, в процессе которого нити все время остаются в плоскости рисунка, а их части, не касающиеся блоков, располагаются либо горизонтально, либо вертикально. Определить ускорение шайбы. Массой блоков и нитей пренебречь. Трения нет. Стержни крепления блоков не мешают нитям.

Уравнение по второму закону Ньютона для груза массой $3m$:

$$3ma_1=3mg-T$$

$$6ma_2=T-3T_1$$

$$T_1=ma_2$$

Если грузик смещается вниз на $x$, то шайба смещается на $3x$ - потому что каждая из трех нитей удлинится на $x$. Поэтому

$$a_1=3a_2$$

$$6ma_1=6mg-2T$$

$$6T_1=6ma_2=T-3T_1$$

$$9T_1=T$$

Откуда

$$3ma_1=3mg-T$$

$$6m\cdot \frac{a_1}{3}=T-3T_1=T-\frac{T}{3}=\frac{2T}{3}$$

Получается

$$2ma_1=\frac{2T}{3}$$

$$3ma_1=T$$

$$3mg-T=T$$

$$2T=3mg$$

$$T=1,5mg$$

$$3ma_1=3mg-1,5mg=1,5mg$$

$$a_1=\frac{g}{2}=5$$

Ответ: $a_1=5$.