Кинематические связи. Часть 13

Продолжаем разбор задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Двигаемся к более навороченным задачам.

Задача 1. Систему из трех брусков, находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая горизонтальную силу $F$. Коэффициент трения между столом и брусками и между соприкасающимися брусками равен $\mu$. Массы брусков $m_1=m$, $m_2=2m$, $m_3=3m$. Массой нити, блока и трением в осях пренебречь.

• Найти силу натяжения нити, если бруски $m_1$ и $m_2$ скрепить, а параметры $F, m, \mu$ подобрать такими, чтобы бруски двигались как одно целое.
• Найти силу натяжения нити, если параметры $F, m, \mu$ подобрать такими, что нескрепленные бруски $m_1$ и $m_2$  движутся друг по другу, а бруски $m_1$ и $m_3$ - по столу.

Если система движется как одно целое, то для нее 2ЗН

$$6ma=F-F_{tr1}-F_{tr2}$$

$$3ma=2T_0-F_{tr2}=2T_0-3\mu m g$$

Последнее умножим на 2:

$$6ma=4T_0-6\mu m g$$

То есть, если сравнить два выражения, то понятно, что

$$F=4T_0$$

$$T_0=\frac{F}{4}$$

Теперь другой случай: все движется.

Из нерастяжимости нити следует, что

$$a_3=\frac{a_1+a_2}{2}$$

Тогда

$$ma_1=F- F_{tr1}-F_{tr3}-T= F- 3\mu m g -2\mu m g -T$$

$$2ma_2= F_{tr3}-T=2\mu m g -T$$
$$3ma_3=2T- F_{tr2}=2T-3\mu m g$$

$$a_1=\frac{F}{m}-5\mu g-\frac{T}{m}$$

$$a_2=\mu g-\frac{T}{2m}$$

$$a_3=\frac{2T}{3m}-\mu g$$

Так как $2a_3=a_1+a_2$, то

$$\frac{4T}{3m}-2\mu g=\frac{F}{m}-5\mu g-\frac{T}{m}+\mu g-\frac{T}{2m}$$

$$\left(\frac{4}{3}+1+\frac{1}{2}\right) \frac{T}{m}=\frac{F}{m}-2\mu g$$

$$\frac{17T}{6}=F-2\mu m g$$

$$T=\frac{6}{17}(F-2\mu m g)$$

Ответ: 1) $T_0=\frac{F}{4}$; 2) $T=\frac{6}{17}(F-2\mu m g)$.

 

Задача 2.

На гладкой горизонтальной поверхности находятся 2 тела с массами $m$ и $\frac{m}{2}$. К телам прикреплены легкие блоки и они связаны невесомой и нерастяжимой нитью так, как показано на рисунке. К концу нити прикладывают постоянную силу $F$. Найти ускорение конца нити.

$$ma_1=3F$$

$$a_1=\frac{3F}{m}$$

$$\frac{m}{2}\cdot a_2=2F$$

$$a_2=\frac{4F}{m}$$

Каждая нить между грузами сократится на $x+y$, если левый груз съедет на $x$, а правый – на $y$. Поэтому высвободится кусок нити длиной  $2(x+y)$ - но это относительно левого груза!

$$z_{otn}= 2(x+y)$$

$$z= z_{otn}+x=3x+2y$$

То есть

$$a=3a_1+2a_2=3\cdot\frac{3F}{m}+2\cdot \frac{4F}{m}=\frac{17F}{m}$$

Ответ: $a=\frac{17F}{m}$

 

Задача 3.

Найдите ускорение груза 1 в системе, изображенной на рисунке. Массы грузов 1 и 2 равны $M$, массы грузов 3 и 4 равны $m$. Грузы 3 и 4 касаются грузов 1 и 2, участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны. Нить невесома и нерастяжима, блоки легкие, трения нет.

При движении вправо грузы $M$ и $m$ можно считать единым целым, их ускорения вдоль горизонтальной оси совпадают.

$$(M+m)a=T$$

$$ma=mg-T$$

$$(M+2m)a=mg$$

$$a=\frac{mg}{M+2m}$$

Ответ: $a=\frac{mg}{M+2m}$.

 

Задача 4.

В системе, изображенной на рисунке, нерастяжимая нить связывает кубик и два бруска, которые находятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Вначале бруски удерживают так, что расстояние между ними равно $H=75$ см. Затем их отпускают. Они начинают поступательное движение, в процессе которого нить все время остается в плоскости рисунка, а ее части, не касающиеся блоков, расположены либо горизонтально, либо вертикально. Стержни крепления блоков не мешают движению нити. Чему равна скорость кубика в момент прямо перед соударением брусков? Блоки и нить невесомы, трения в осях нет.

ЗН для кубика:

$$3ma_1=3mg-2T$$

2ЗН для правого бруска:

$$2ma_2=4T$$

Для левого:

$$ma_3=2T$$

Но тогда получается, что $a_2=a_3$. А из первого

$$3a_1=3g-a_2$$

Пусть левый брусок сместился на $x$ вправо, а правый – на $y$ влево. Три нити между брусками сократились на $x+y$. Полная длина нити неизменна, следовательно, сумма удлинений равна сумме сокращений. Кубик опустился на $z$, и, следовательно,

$$2z+x=y+3(x+y)$$

$$2z=y+2x+3y$$

$$2z=2x+4y$$

$$z=x+2y$$

А это означает, что

$$a_1=2a_2+a_3$$

Но $x=y$ - так как ускорения равны. Поэтому

$$a_1=3a_3=3a_2$$

$$3a_1=3g-\frac{a_1}{3}$$

И

$$\frac{10a_1}{3}=3g$$

$$a_1=\frac{9g}{10}$$

$$a_2=\frac{3g}{10}$$

Определим скорость кубика

$$\upsilon_1=a_1t$$

Пути брусков одинаковы – ведь одинаковы ускорения:

$$H=S_2+S_3=2S_2$$

$$S_2=\frac{H}{2}=\frac{a_2t^2}{2}$$

$$a_2t^2=H$$

$$t^2=\frac{H}{a_2}=\frac{0,75}{3}=0,25$$

Откуда $t=0,5$ и $\upsilon_1=a_1t=0,9g\cdot 0,5=4,5$ м/с.

Ответ: 4,5 м/с.