Простая физика
Категория:
Кинематические связи ...Кинематические связи. Часть 12
Наконец-то мы добрались и до задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Тут тоже двинемся от простого к сложному.
Задача 1.
Найти ускорения грузов. Известно, что $m_1=2$ кг, $m_2=1$ кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.
К задаче 1
Из нерастяжимости нити следует, что $a_1=a_2=a$. Второй закон Ньютона (2ЗН) для первого груза:
$$m_1a=m_1g-T$$
Второй закон Ньютона для второго груза:
$$m_2a=T-m_2g$$
Силы в задаче 1
Сложив уравнения, получим:
$$a(m_1+m_2)=m_1g-m_2g$$
$$a=\frac{g(m_1-m_2}{ m_1+m_2}=\frac{g}{3}$$
Ответ: $a=\frac{g}{3}$
Задача 2.
Найти ускорения грузов. Известно, что $m_1=2$ кг, $m_2=3$ кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.
К задаче 2
Если груз $m_1$ опустится на расстояние $2x$, то груз $m_2$ поднимется на $x$. Поэтому $a_1=2a_2$. Составим второй закон для каждого груза:
$$m_1a_1=m_1g-T$$
$$m_2a_2=2T-m_2g$$
Силы в задаче 2
Перепишем:
$$m_1\cdot 2a_2=m_1g-T$$
$$m_2a_2=2T-m_2g$$
Умножим первое уравнение на 2:
$$4m_1a_2=2m_1g-2T$$
$$m_2a_2=2T-m_2g$$
И сложим уравнения:
$$(4m_1+m_2)a_2=2m_1g-m_2g$$
$$a_2=\frac{2m_1g-m_2g }{4m_1+m_2}=\frac{g}{11}$$
$$a_1=2a_2=\frac{2g}{11}$$
Ответ: $a_1=\frac{2g}{11}$; $a_2=\frac{g}{11}$.
Задача 3.
К оси легкого блока прикрепили груз массы $M$, сам блок удерживается переброшенной через него нитью, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан грузик массой $m$. Этот малый груз сначала удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока.
К задаче 3
Если груз $m$ опустить на расстояние $x$, то груз $M$ опустится на $\frac{x}{2}$. Поэтому $a_1=a$, $a_2=2a$.
Составим второй закон для каждого груза:
$$Ma=Mg-2T$$
$$2ma=mg+T$$
Силы в задаче 3
Разделим уравнения друг на друга:
$$\frac{M}{2m}=\frac{Mg-2T}{mg+T}$$
Откуда
$$M(mg+T)=2m(Mg-2T)$$
$$Mmg+MT=2Mmg-4mT$$
Выразим силу натяжения:
$$T(M+4m)=Mmg$$
$$T=\frac{ Mmg }{ M+4m }>0$$
Следовательно, нить натянута. Если бы оказалось, что $T<0$, это значило бы, что нить прослабла и грузы просто свободно падают, в этом случае их ускорения равны были бы $g$.
Вернемся ко второму закону и перепишем, умножив второе уравнение на 2:
$$Ma=Mg-2T$$
$$4ma=2mg+2T$$
Теперь сложим уравнения:
$$a(M+4m)=g(M+2m)$$
$$a=a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}<g$$
$$a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}$$
Ответ: $a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}$, $a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}$.
Задача 4.
К оси легкого блока прикрепили груз массы $m$, через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан грузик массой $M$. Груз вверху удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока. Чему равно натяжение нити до отпускания груза и во время движения?
К задаче 4
Если груз $m$ опустить на расстояние $x$, то груз $M$ опустится на $2x$. Поэтому $a_1=a$, $a_2=2a$.
Как видно, $T_1=2T$.
Силы в задаче 4
Составим второй закон для каждого груза:
$$ma=mg+T_1$$
$$2Ma=Mg-T$$
Перепишем:
$$ma=mg+2T$$
$$2Ma=Mg-T$$
Разделим уравнения друг на друга:
$$\frac{m}{2M}=\frac{mg+2T}{Mg-T}$$
Откуда
$$m(Mg-T)=2M(mg+2T)$$
$$Mmg-mT=2Mmg+4MT$$
Выразим силу натяжения:
$$T(-m-4M)=Mmg$$
$$T=\frac{ Mmg }{ - m -4M }<0$$
Нить не натянута, грузы падают с ускорением $g$. До того, как груз отпустили, $a=0$, поэтому $T_1=mg$, $T=Mg$.
Ответ: До отпускания $T_1=mg$, $T=Mg$, после $a_1=a_2=g$, сила натяжения нити – ноль.
Задача 5.
Определить силу натяжения нити в системе, изображенной на рисунке. Наклонная плоскость составляет угол $\alpha$ с горизонтом, масса $m$ известна. Массой блоков и нити пренебречь. Нить нерастяжима, трение не учитывать.
К задаче 5
Пусть левый груз сполз на расстояние $x$, а левый – на расстояние $y$ вниз по плоскости. Тогда нить в центре удлинилась на $x+y$, каждая половинка – на $\frac{x+y}{2}$. Это значит, что груз $m$ опустился на $z=\frac{x+y}{2}$. То есть можно утверждать, что
$$a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$$
Силы в задаче 5
Уравнение по второму закону для груза $2m$:
$$2ma_2=T$$
Уравнение по второму закону для груза $3m$:
$$3ma_3=T+3mg\sin \alpha$$
Уравнение по второму закону для груза $m$:
$$ma_1= mg-2T$$
Тогда умножим на 2 первое уравнение и сложим его с третьим:
$$4ma_2=2T$$
$$4ma_2+ ma_1=mg$$
Или
$$4a_2+ a_1=g$$
$$a_1=g-4a_2$$
Но $2a_1=a_2+a_3$,
$$2g-8a_2=a_2+a_3$$
$$a_3=2g-9a_2$$
Теперь умножим на 2 второе уравнение и сложим с третьим:
$$6ma_3=2T+6mg\sin \alpha$$
$$6ma_3+ma_1=mg+6mg\sin \alpha$$
$$6a_3+a_1=g+6g\sin \alpha$$
$$6(2g-9a_2)+ g-4a_2= g+6g\sin \alpha$$
$$12g-54a_2-4a_2=6g\sin \alpha$$
$$a_2=\frac{12g-6g\sin \alpha }{58}=\frac{6g-3g\sin \alpha }{29}$$
$$a_3=2g-\frac{9(6g-3g\sin \alpha )}{29}=\frac{58g-9(6g+3g\sin \alpha) }{29}=\frac{4g+27g\sin \alpha }{29}$$
$$a_1=g-\frac{4(6g-3g\sin \alpha )}{29}=\frac{5g+12g\sin \alpha }{29}$$
$$T=2ma_2=\frac{12g-6g\sin \alpha }{29}\cdot m$$
Ответ: $T=\frac{12g-6g\sin \alpha }{29}\cdot m$