Кинематические связи. Часть 11

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1.

Период обращения некоторой планеты вокруг Солнца составляет $T_0=88$ земных суток, а вокруг своей оси - $T=59$ земных суток.  Какова продолжительность солнечных суток на этой планете? Направление вращения планеты вокруг оси и вокруг Солнца совпадают. Ответ записать в земных сутках, округлив до целых.

Планета и Солнце

Планета проходит за сутки угол $\frac{360^{\circ}}{88}=4,09^{\circ}$ по траектории вокруг Солнца, а вокруг себя (относительно звезд) поворачивается на угол $\frac{360^{\circ}}{59}=6,1^{\circ}$. Так как направления обоих вращений совпадают, то относительно Солнца планета поворачивается за сутки на угол $6,1^{\circ}-4,09^{\circ}=2,01^{\circ}$, поэтому, чтобы совершить оборот на  $360^{\circ}$, планете потребуется время $\frac{360^{\circ}}{2,01^{\circ}}=179,034$, то есть 179 суток.

Другое решение: перейдем в систему отсчета наблюдателя на данной планете.

Продолжительность дня будет определяться относительной угловой скоростью,

$$\omega’=\omega_0-\omega$$

$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$

$$\frac{2\pi}{T’}=\frac{2\pi}{T_0}-\frac{2\pi}{T}$$

$$T’=\frac{T\cdot T_0}{T_0-T}=\frac{88\cdot 59}{88-59}=179$$

Ответ: 179 суток.

Задача 2.

Трамвай движется со скоростью 14 м/с. Радиус трамвайного колеса равен $r=70$ см, а радиус реборды $R=72$ см. Определите модуль скорости нижней точки реборды относительно поверхности рельсов. Ответ выразите в м/с.

Колесо с ребордой

Нижняя точка колеса, касающаяся рельсов, имеет скорость ноль, то есть является мгновенным центром скоростей. Из подобия треугольников:

$$\frac{\upsilon}{r}=\frac{u}{R-r}$$

$$u=\frac{\upsilon(R-r)}{r}=\frac{14\cdot0,02}{0,7}=0,4$$

Ответ: 0,4 м/с

Задача 3.

Нитку тянут со скоростью $\upsilon_0=5$ см/с параллельно поверхности горизонтального стола. Внутренний радиус катушки $r=2$ см, внешний - $R=3$ см. Катушка по столу и нитка по катушке не проскальзывают. Найдите угловую скорость катушки. С какой скоростью катушка движется по столу?

К задаче 3

Из рисунка видно, что

$$\upsilon_0=\omega(R-r)$$

Катушка

Угловая скорость катушки относительно мгновенного центра скоростей (точки касания о стол) равна угловой скорости всех точек катушки относительно ее центра. Поэтому

$$\omega=\frac{\upsilon_0}{R-r}=5$$

Тогда

$$\upsilon=\omega R=15$$

Ответ: $\omega=5$ рад/с, $\upsilon=15$ см/с.

Задача 4.

Две параллельные рейки движутся со скоростью $\upsilon_1=3$ м/с и $\upsilon_2=2$ м/с относительно неподвижного наблюдателя. Между рейками зажат диск радиуса 10 см, который не скользит относительно них. Какова угловая скорость вращения диска? С какой скоростью диск движется поступательно относительно неподвижного наблюдателя?

К задаче 4

Переходим в систему отсчета, в которой нижняя рейка неподвижна. Тогда верхняя будет двигаться со скоростью $\upsilon_1-\upsilon_2$. Следовательно, центр колеса будет иметь скорость, в два раза меньшую, так как расположен в 2 раза ближе к мгновенному центру скоростей: $\upsilon=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}=0,5$ м/с. Но не забудем перейти обратно в систему отсчета неподвижного наблюдателя! В ней скорость центра будет $\upsilon+\upsilon_2=2,5$ м/с.

Рейки

Угловая скорость не меняется при переходе из ИСО в ИСО, поэтому

$$\omega=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2r}=5$$

Ответ: $\omega=5$ рад/с, скорость центра колеса 2,5 м/с.

Задача 5.

По прямолинейному участку $AB$ железной дороги движется поезд со скоростью $u=10$ м/с. Автомобиль движется со скоростью $\upsilon=6$ м/с по дороге в виде дуги окружности радиусом $R$. Расстояние от центра окружности до железной дороги $OE=1,5R$.

К задаче 5

В некоторый момент времени поезд оказался в точке Е, а автомобиль в точке $D$. Найдите в этот момент скорость поезда в системе отсчета, связанной с автомобилем. Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Размеры поезда и автомобиля малы по сравнению с $R$.

Если представить автомобиль установленным на вращающемся диске, то скорость точки диска $E$ больше скорости автомобиля в 1,5 раза – так как расстояние $OE=1,5OD$. Скорость точки $E$ равна 9 м/с, значит, относительная скорость поезда $10-9=1$ м/с. Законом сложения скоростей здесь пользоваться нельзя (автомобиль движется по окружности, значит, у него есть ускорение).