Кинематические связи. Часть 10.

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1.

Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа переместится на 10 см?

К задаче 1

Если скорость колеса $\upsilon$, то скорость его верхней точки, там, где происходит контакт с платформой, равна $2\upsilon$. Но тогда скорость платформы тоже $2\upsilon$. Поэтому, если платформа переместится на 10 см, катки – на 5.

Ответ: 5 см.

Задача 2.

Катушка, зажатая между двумя параллельными досками, движущимися со скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$, катится по ним без проскальзывания. Найдите угловую скорость катушки и скорость ее центра. Внутренний радиус катушки $r$, внешний $R$.

К задаче 2

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью нижней доски. В этой ИСО нижняя доска неподвижна, а верхняя имеет скорость $\vec{u}=\vec{\upsilon_1}-\vec{\upsilon_2}$.

Точка $A$ будет мгновенным центром скоростей.

Точка $C$ будет иметь скорость

$$\upsilon_{C_{otn}}=\omega R$$

Скорость точки $B$

$$\upsilon_{B_{otn}}=u=\omega(R+r)$$

Таким образом,

$$\omega=\frac{ u}{ R+r }$$

$$\upsilon_{C_{otn}}=\frac{ u R}{ R+r }=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)$$

Не забудем вернуться в лабораторную систему отсчета:

$$\upsilon_C=\upsilon_{C_{otn}}+\upsilon_2$$

$$\upsilon_C=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)+\upsilon_2$$

Задача 3.

Нить, намотанную на ось катушки, тянут  со скоростью $\upsilon$ под углом к горизонту. Катушка катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах $\alpha$ ось движется вправо? Влево? Нить так длинна, что угол не меняется при движении.

К задаче 3

Перейдем в ИСО центра катушки.

Скорость $\upsilon$ является суммой относительной скорости и скорости центра:

К задаче 3

$$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_{otn}}+\vec{\upsilon_C}$$

В силу нерастяжимости нити

$$\upsilon_{otn_x}=\upsilon_{B_x}$$

$$\upsilon_{otn_x}=\omega r$$

$$\vec{\upsilon_{otn}}=\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon_C}$$

$$\upsilon_x-\upsilon_{Cx}=\omega r$$

$$-\upsilon+\upsilon_C\cos\alpha=\omega r$$

Условие отсутствия проскальзывания

$$\upsilon_C=\omega R$$

$$-\upsilon+\omega R\cos\alpha=\omega r$$

$$\omega=\frac{\upsilon }{ R\cos\alpha - r}$$

$$\upsilon_C=\frac{\upsilon R}{ R\cos\alpha - r}$$

Получаем, что, если $ R\cos\alpha>r$, то ось движется вправо, а если $ R\cos\alpha<r$, то влево.

Задача 4.

Кривошип $OA$, вращаясь с угловой скоростью $\omega$, приводит в движение колесо радиуса $r$, катящееся по неподвижному колесу радиуса $3r$. Найдите скорость точки $B$.

К задаче 4

Если проскальзывания нет, то скорость точки $D$ равна нулю. Скорость точки $A$

$$\upsilon_A=\omega_2\cdot r$$

Точка $D$ - мгновенный центр скоростей для малого колеса. $\omega_2$ - угловая скорость малого колеса.

$$\upsilon_A=\omega\cdot 4r$$

$$\omega_2=4\omega$$

$$\upsilon_B=\omega_2\cdot 2r=8\omega\cdot r$$

Ответ: $\upsilon_B=8\omega\cdot r$.

Задача 5.

Вагон А движется по закруглению радиуса $OA=R$, а вагон В – прямолинейно. Расстояние $AB=R$, скорость каждого вагона равна $\upsilon$. Найдите скорость вагона А относительно вагона В, и скорость вагона В относительно вагона А.

К задаче 5

$$\vec{\upsilon_B}=\vec{\upsilon_{B_{otn}}}+\vec{\upsilon_{per}}$$

Нам нужно найти значение переносной скорости $\vec{\upsilon_{per}}$ для точки В.

Возьмем мысленно диск, вращающийся со скоростью $\omega=\frac{\upsilon}{R}$, и поставим на него вагон А. В точке, где находился бы вагон B, скорость точек диска равна уже $\omega\cdot 2R$. Это переносная скорость.

$$\upsilon_{per}=\omega\cdot 2R=2\upsilon$$

Тогда

$$\upsilon=\upsilon_{B_{otn}}+2\upsilon$$

$$\upsilon_{B_{otn}}=-\upsilon$$

$$\vec{\upsilon_A}=\vec{\upsilon_{A_{otn}}}+\vec{\upsilon_{per}}$$

$$\upsilon=\vec{\upsilon_{A_{otn}}}+\upsilon$$

$$\vec{\upsilon_{A_{otn}}}=\vec{0}$$