Кинематические связи - 16

Задача 1.

Из четырёх массивных брусков, семи идеальных блоков и невесомой нерастяжимой нити собрана система, показанная на рисунке. Сначала грузы удерживают, затем одновременно аккуратно отпускают. Во сколько раз ускорение блока А сразу после начала движения отличается от ускорения свободного падения?

Рисунок к задаче 1

Решение. Для точки А можно записать второй закон Ньютона

$$m_A\cdot a_A=2T-T=T$$

Блок легкий, поэтому $m_A=0$, следовательно, $T=0$.  

Таким образом, $a_1\approx a_2 \approx a_3 \approx a_4 \approx g$.

Изменение длин нитей

Используем условие конечности длины нити.

$$x_1+2x_2+x_3+(x_3-x_A)+(x_4-x_A)+x_4+x_A=const$$

$$x_1+2x_2+2x_3+2x_4=const+ x_A$$

Берем две производные

$$a_A=a_1+2a_2+2a_3+2a_4=7g$$

$$ \frac {a_A }{g}=7$$

Ответ: $ \frac {a_A }{g}=7$

Задача 2.  

Однажды техник Гайка сконструировала систему из лёгкого блока с перекинутой через него лёгкой нерастяжимой нитью, на концах которой прикреплены грузы массами $m$ и $3m$ (см. рисунок). Она поручила Вжику тянуть ось блока таким образом, чтобы она двигалась вертикально и при этом ускорения грузов относительно Земли отличались друг от друга по величине вдвое. Найдите необходимое значение проекции ускорения оси блока на ось $x$, направленную вертикально вниз. Ускорение свободного падения равно $g$. В ответ записать максимальный модуль ускорения.

Рисунок к задаче 2

Решение. Начнем с записи второго закона Ньютона для обоих грузов:

$$ma_{1x}=mg-T$$

$$3ma_{2x}=3mg-T$$

Вычитаем из второго первое:

$$3ma_{2x}- ma_{1x}=2mg$$

$$3a_{2x}-a_{1x}=2g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Условие нерастяжимости нити:

$$\Delta(x_2-x_{bl})=-\Delta(x_1- x_{bl})$$

Откуда

$$\Delta x_{bl}=\frac{\Delta x_1+\Delta x_2}{2}$$

Продифференцируем

$$a_{bl}=\frac{a_{1x}+a_{2x}}{2}$$

По условию $\frac{a_{1x}}{a_{2x}}=2$ или $\frac{a_{1x}}{a_{2x}}=\frac{1}{2}$

Рассмотрим возможные случаи:

Первый:

$$a_{1x}=2a_{2x}$$

Подставим в (1):

$$ a_{2x}=2g$$

$$ a_{1x}=4g$$

$$ a_{bl}=3g$$

Так как при этих значениях ускорений первое уравнение дает $T<0$, то этот вариант нереализуем.

Второй:

$$a_{1x}=-2a_{2x}$$

Подставим в (1):

$$ 5a_{2x}=2g$$

$$ a_{2x}=0,4g$$

$$a_{1x}=-0,8g$$

$$ a_{bl}=-0,2g$$

Случай реализуем, блок движется вверх.

Третий:

$$a_{1x}=\frac{1}{2}a_{2x}$$

Подставим в (1):

$$ \frac{5}{2}a_{2x}=2g$$

$$ a_{2x}=0,8g$$

$$a_{1x}=0,4g$$

$$ a_{bl}=0,6g$$

Случай подходит, $T>0$.

Четвертый случай:

$$a_{1x}=-\frac{1}{2}a_{2x}$$

Подставим в (1):

$$ \frac{7}{2}a_{2x}=2g$$

$$ a_{2x}=\frac{4}{7}g$$

$$a_{1x}=-\frac{3}{7}g$$

$$ a_{bl}=\frac{1}{7}g$$

Случай подходит, $T>0$.

Максимальный модуль ускорения блока - $0,6g$.

Ответ: $ a_{bl}=0,6g$.