Кинематические связи - 15

Задача 1.

Клин с углом при основании $30^{\circ}$ движется поступательно по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы $F$, направленной перпендикулярно вертикальной стенке (см. рис.). На гладкой наклонной поверхности клина находится брусок, привязанный нерастяжимым тросом к стенке; его масса в 3 раза меньше массы клина. Трос перекинут через блок, закреплённый на вершине клина. Участок троса от блока до стенки перпендикулярен стенке, участок троса от блока до бруска параллелен плоскости клина. Величина силы $F$ равна величине силы тяжести, действующей на брусок. Найдите ускорение клина. Ответ выразите в м/с$^2$, округлив до десятых. Брусок при движении не отрывается от поверхности клина.

Решение. Записываем уравнения по второму закону Ньютона. Для клина:

$$3mA=F-T+T \cos \alpha - N \sin \alpha$$

Для бруска:

$$ma=T-mg\sin \alpha$$

$$N=mg\cos \alpha$$

Кинематическая связь:

$$a=A+A\cos \alpha$$

Тогда

$$T=m(A+A\cos \alpha)+mg\sin\alpha$$

$$3mA=mg-(1-\cos \alpha)(m(A+A\cos \alpha)+mg\sin \alpha)-mg\cos \alpha\sin\alpha$$

$$A(3m+m(1-\cos^2 \alpha))=mg-mg\sin\alpha$$

$$A=\frac{g-g\sin \alpha}{3+(1-\cos^2 \alpha)}=\frac{5}{4-\frac{3}{4}}=1,54$$

Ответ: $A=1,54$ м/с$^2$.

Задача 2.

Небольшой груз массы $m=1,25$ кг лежит неподвижно на горизонтальной платформе, которую вытягивают из-под него. Его удерживают на месте два отрезка одной лёгкой нерастяжимой нити (см. рисунок). Найдите силы натяжения обоих отрезков. Вторые концы отрезков нити закреплены на стене таким образом, что при нахождении груза на платформе они натягиваются одновременно, составляя при этом с горизонталью углы $60^{\circ}$ и $45^{\circ}$. Коэффициент трения между грузом и платформой $\mu=0,5$. Ускорение свободного падения $g\approx 9,8$ м/с$^2$. Ответы выразите в ньютонах, округлив до десятых.

$$T_1\cos \alpha+T_2\cos \beta-\mu N=0$$

$$T_1\sin \alpha+T_2\sin \beta+N=mg$$

Сила натяжения нити

$$T=k\Delta l$$

$$k=\frac{ES}{l}$$

Отношение

$$\frac{k_2}{k_1}=\frac{ES}{l_2}\cdot\frac{l_1}{ES}=\frac{l_1}{l_2}=\frac{d}{\cos \alpha}\cdot \frac{\cos \beta}{d}=\frac{\cos \beta}{\cos\alpha}$$

Но при малом сдвиге изменения длин нитей будут относиться так же, как и сами длины. Поэтому

$$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2}=\frac{\cos \beta}{\cos\alpha}$$

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{\cos \beta}{\cos\alpha}\right)^2=2$$

Подставим

$$T_1\cos \alpha+T_1\cdot\left(\frac{\cos \beta}{\cos\alpha}\right)^2\cdot \cos \beta-\mu N=0$$

$$T_1\sin\alpha+T_1\left(\frac{\cos \beta}{\cos\alpha}\right)^2\cdot\sin \beta+N=mg$$

Подставим числа:

$$T_1\cdot\frac{1}{2}+T_1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-0,5N=0$$

$$T_1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+T_1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+N=12,5$$

$$T_1+2\sqrt{2}T_1-N=0$$

$$\sqrt{3}T_1+2\sqrt{2}T_1+2N=25$$

Домножим первое на 2:

$$2T_1+4\sqrt{2}T_1-2N=0$$

$$\sqrt{3}T_1+2\sqrt{2}T_1+2N=25$$

Складываем:

$$T_1(\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2)=25$$

$$T_1=\frac{25}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2}=2,046$$

$$T_2=2T_1=\frac{50}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2}=4,093$$

Ответ: $T_1=2$ Н, $T_2=4$ Н.