Закон Бернулли и формула Эйлера. Готовимся к олимпиадам, 9 класс

В задачах сегодняшней статьи снова "не школьные" темы: закон Бернулли и формула Эйлера (закон неразрывности струи).

Задача 1.

По каналу с радиусом закругления $L=30$ м и шириной $S=3$ м течёт вода. Два манометра, находящиеся в одной горизонтальной плоскости у наружной и внутренней стенок канала, дают показания, отличающиеся на $\Delta p=400$ Па. Чему равна скорость воды в канале? Плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3.$ Ответ дать в м/с, округлить до целых.

Решение.

Для трубки тока, расположенной горизонтально ($h_1=h_2$), уравнение Бернулли имеет вид: $p_1+\frac{p\upsilon_1^2}{2}=p_2+\frac{p\upsilon_2^2}{2}$. По условию задачи $p_2-p_1=\Delta p.$ Скорость воды в канале на повороте должна подчиняться условию

$$\omega=\frac{\upsilon}{R}=\frac{\upsilon_2}{L}=\frac{\upsilon_1}{L+S}=\frac{\upsilon}{L+\frac{S}{2}}=\frac{2\upsilon}{2L+S},$$

где $\upsilon$ — скорость течения воды в канале на середине реки, $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ — скорости у берегов, соответственно.

Таким образом, $\upsilon_2=\frac{2\upsilon_1 L}{2L+S}$ и $\upsilon_1=\frac{2\upsilon(L+S)}{2L+S}.$

Подставляя скорости в уравнение для $\Delta p$, получим

$$\Delta p=\frac{2p\upsilon^2(2LS+S^2)}{(2L+S)^2},$$

откуда

$$\upsilon=\sqrt{\frac{\Delta p(2L+S)^2}{2p(2LS+S^2)}}=2.$$

Ответ: 2 м/с.

Задача 2.

На некоторых реках недалеко от устья во время прилива наблюдается бор - волна, представляющая собой резкое повышение уровня воды. Определите скорость движения бора, считая, что его форма не меняется со временем. Высота бора $h=1,5$ м, глубина реки $H=3$ м, скорость течения $\upsilon=1$ м/с. Ответ дать в м/с, округлить до десятых.

К задаче 2

Решение.

Пусть скорость бора равна $c$. Перейдём в сопутствующую систему отсчета, движущуюся со скоростью бора. Тогда вода набегает со скоростью $\upsilon_1=c+\upsilon$, а после бора движется с некоторой скоростью $\upsilon_2.$ Из закона Бернулли $\frac{\upsilon_1^2}{2}=gh+\frac{\upsilon_2^2}{2}$ и из уравнения неразрывности $\upsilon_1H=\upsilon_2(H+h)$ получаем $\upsilon_1^2=\frac{g(h+H)^2}{H+\frac{h}{2}}$, окончательно $c=\upsilon_1-\upsilon=6,3.$

Ответ: 6,3 м/с.

Задача 3.

Что произойдёт, если продувать струю воздуха между двумя шариками от пинг-понга, подвешенными на нитях?

К задаче 3

1. Останутся неподвижными
2. Будут двигаться вместе вправо или влево
3. Отклонятся друг от друга
4. Приблизятся друг к другу

Решение.

В системе отсчёта шариков воздух между ними имеет скорость, а воздух снаружи неподвижен. В соответствии с законом Бернулли давление в движущейся среде меньше, чем в неподвижной. Поэтому шарики начнут сближаться.

Ответ: 4.

Задача 4.

На поршень горизонтально расположенного шприца площадью поперечного сечения $S_1=2$ см$^2$ действует постоянная горизонтальная сила $F=5$ Н. С какой скоростью вытекает струя из отверстия площадью $S_2=10^{-2}$ см$^2$, если плотность жидкости $\rho=1000$ кг/м$^3$ и поршень движется равномерно? Ответ дать в м/с. Округлить до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть скорость движения поршня $\upsilon_1$, а скорость струи на выходе из шприца $\upsilon_2$. Тогда по уравнению Бернулли $\frac{F}{S_1}+\frac{\rho\upsilon_1^2}{2}=\frac{\rho\upsilon_2^2}{2}.$ Но, из уравнения неразрывности $\upsilon_1 S_1=\upsilon_2 S_2$. Обобщая всё написанное выше, получаем, что $\upsilon_2=\sqrt{\frac{2FS_1}{\rho(S_1^2-S_2^2)}}=7$ м/с. Малой площадью выходного отверстия в последней формуле можно пренебречь.

Ответ: 7 м/с.

Задача 5.

Вода течёт по горизонтальной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 2 раза меньше диаметра широкой части. Ответ дать в см/с, округлив до целых.

Решение.

Применим уравнение неразрывности струи $\upsilon_1\cdot \pi(2d)^2=\upsilon_2\cdot \pi d^2$, где $\upsilon_1=20$ см/с, $d$ — диаметр узкой трубы. Откуда $\upsilon_2=4\upsilon_1=80$ см/с.

Ответ: 80 см/с.