Задачи Сириуса на плотность тел

Задача 1.

Масса одного тела больше массы другого тела в 5 раз, а плотность материала, из которого изготовлено более массивное тело, составляет 0,8 от плотности материала, из которого изготовлено более лёгкое тело. Найдите отношение объёма массивного тела к объёму более лёгкого тела. Ответ округлите до сотых.

Решение. Первое тело имеет массу $5m$, тогда второе - $m$. Более массивным является первое. Плотность первого тела будет $0,8\rho$ при плотности второго, равной $\rho$. Запишем объемы обоих тел:

$$V_1=\frac{5m}{0,8\rho}$$

$$V_2=\frac{m}{\rho}$$

Отношение объемов равно

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{0,8}=\frac{50}{8}=6,25$$

Ответ: 6,25

Задача 2.

Объём медного бруска в два раза больше объёма оловянного бруска, а масса медного бруска на 200 г больше массы оловянного бруска. Определите массу медного бруска, если плотность меди $\rho_m=8900$ кг/м$^3$, а плотность олова $\rho_{ol}=7300$ кг/м$^3$. Ответ дайте в кг, округлив до сотых.

Решение. Пусть объем медного бруска $2V$, объем оловянного тогда - $V$. Масса медного $m+0,2$, оловянного - $m$. Тогда:

$$2V=\frac{m+0,2}{8900}$$

$$V=\frac{m}{7300}$$

Таким образом,

$$\frac{m+0,2}{8900\cdot 2}=\frac{m}{7300}$$

Решение этого уравнения дает $m=139$ г.

Но масса медного бруска $0,2+m=0,339$ кг, или $0,34$ кг.

Ответ: 0,34 кг

Задача 3.

Пусть есть кубики из алюминия и свинца. Объём одного из этих кубиков на 50 см$^3$ больше, чем объём другого, а масса на 150 г меньше, чем масса другого. Плотность алюминия 2700 кг/м$^3$ , а плотность свинца 11300 кг/м$^3$. Определите по этим данным объем каждого кубика в см$^3$.

Решение. Плотность алюминия значительно меньше плотности свинца. Поэтому, скорее всего, этот кубик объемнее и при этом легче. Примем массу алюминиевого кубика за $m$, тогда масса свинцового $m+150$. Пусть объем свинцового кубика $V$, тогда объем алюминиевого - $V+50$. Так как рассуждаем мы, используя граммы и сантиметры кубические, то и плотности будет удобно иметь в г/см$^3$. Тогда:

$$2,7=\frac{m}{V+50}$$

$$11,3=\frac{m+150}{V}$$

Из первого

$$m=2,7V+2,7\cdot 50$$

Из второго

$$11,3V=m+150$$

Ну и подставим во второе уравнение то, что получили из первого ($m$):

$$11,3V=2,7V+2,7\cdot 50+150$$

$$11,3V-2,7V=135+150$$

$$V=33,1$$

Тогда $V+50=83$ см$^3$.

Ответ: объем кубика из алюминия - 83 см$^3$, объем кубика из свинца 33 см$^3$.

Задача 4.

Два кубика c длиной ребра 7 см, один сплошной, другой полый, изготовлены из одного и того же материала плотностью 2500 кг/м$^3$. Массы кубиков отличаются на 150 г. Найдите отношение объёма полости в полом кубике к объёму кубика. Ответ округлите до сотых.

Решение. Объем кубика равен $7^3$ см$^3$. Дырка в полом кубике пустая, а в сплошном та же дырка заполнена материалом с плотностью 2500 кг/м$^3$, или $2,5$ г/см$^3$. Вот поэтому и возникает разность масс – это как раз масса материала, заполняющего полость в цельном кубике. Значит, объем заполненной дыры в кубических сантиметрах

$$V=\frac{150}{2,5}=60$$

А требуемое отношение равно $\frac{60}{343}=0,174$.

Ответ: 0,17

Задача 5.

Две детали одинакового объёма, медная и алюминиевая, имеют внутренние полости, причём объём полости в медной детали на 30 см$^3$ больше, чем объём полости в алюминиевой детали. Масса медной детали в 1,2 раза больше массы алюминиевой детали. Определите массу медной детали. Ответ дайте в граммах, округлив до целого числа. Плотность меди 8900 кг/м$^3$, плотность алюминия 2700 кг/м$^3$.

Решение. Пусть объем деталей $V$, масса алюминиевой $m$, тогда масса медной $1,2m$. Пусть объем полости в алюминиевой детали $V_0$, тогда объем полости в медной $V+30$ см$^3$. Массу алюминиевой детали можно записать как

$$m=(V-V_0)\cdot 2,7$$

А массу медной

$$1,2m=(V-V_0-30)\cdot 8,9$$

Подставим вместо $m$ то, что выше записано:

$$1,2\cdot (V-V_0)\cdot 2,7=(V-V_0-30)\cdot 8,9$$

$$8,9(V-V_0)-3,24(V-V_0)=30\cdot 8,9$$

$$V-V_0=47,17$$

Масса медной детали равна $1,2\cdot 47,17\cdot 2,7=152,8$ г.

Ответ: 153 г.