Подготовка к олимпиадам: плотность, 7 класс.

В статье дана подборка задач по теме "Плотность", которые вы можете встретить на олимпиадах уровня региональной. Здесь задачки потруднее, если что-нибудь будет непонятно - спрашивайте.

Задача 1.

При изготовлении кирпича мастера допустили брак, и внутри кирпича образовалась полость. Во сколько раз объем кирпича больше объема внутренней полости, если средняя плотность бракованного кирпича в 1,5 раза меньше нормального? Ответ округлить до целых. Снаружи бракованный кирпич выглядит как нормальный.

Масса кирпича будет равна объему материала кирпича, умноженному на плотность этого материала:

$$m=\rho\cdot V$$

Также можно найти массу кирпича, зная его среднюю плотность:

$$m=\rho_{sr}\cdotV_p=\rho_{sr}\cdot(V+V_0) $$

Где $V_p$ - полный объем, $V_0$ - объем полости.

Приравняем обе массы:

$$\rho\cdot V=\rho_{sr}\cdot(V+V_0)$$

$$\rho\cdot V=\frac{\rho}{1,5}\cdot(V+V_0)$$

$$ V-\frac{2}{3} V=\frac{ V_0}{1,5}$$

$$2V_0=V$$

То есть объем полости вдвое меньше объема материала, иными словами,

$$V_0=\frac{1}{3}V_p$$

Или

$$\frac{ V_p }{ V_0}=3$$

Ответ: 3

Задача 2.

При изготовлении кирпича мастера замесили 3 массы сухой смеси плотностью  1500 кг/м$^3$ и 2 массы воды плотностью  1000 кг/м$^3$. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м$^3$, округлив до целых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

$$\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{3m+2m}{V_1+V_2}=\frac{5m}{\frac{3m}{\rho_1}+\frac{2m}{\rho_2}}=\frac{5m\cdot1500}{6m}=1250$$

Ответ: 1250 кг/м$^3$.

Задача 3.

При изготовлении кирпича мастера замесили 2 объема сухой смеси плотностью  1500 кг/м$^3$ и 3 объёма воды плотностью  1000 кг/м$^3$. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м$^3$, округлив до целых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

$$\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{2V\rho_1+3V\rho_2}{2V+3V}=\frac{2\cdot1500+3\cdot1000}{5}=\frac{6000}{5}=1200$$

Ответ: 1200 кг/м$^3$.

Задача 4.

Однородная деталь из сплава с плотностью  2000 кг/м$^3$ имеет массу $m_1=32$ кг. А её точная копия, но в 2 раза меньших размеров, сделанная из сплава с плотностью  4000 кг/м$^3$, оказалась массой $m_2=7$ кг. Есть подозрение, что внутри копии существует скрытая полость. Какой у неё объём? Ответ дать в см$^3$.

Объем детали можно определить:

$$V_d=\frac{m}{\rho_d}$$

Коэффициент подобия равен 2, поэтому объем копии меньше в $2^3=8$ раз:

$$V_k=\frac{m}{8\rho_d}$$

Масса копии тогда должна быть:

$$m_k=V_k\cdot \rho_k=\frac{m\rho_k}{8\rho_d}=\frac{32\cdot4000}{8\cdot2000}=8$$

Но масса копии меньше ровно на 1 кг. Следовательно, вместо этого 1 кг материала это место заняла полость. Если найдем объем 1 кг материала копии, то найдем объем полости:

$$V_1=V_0=\frac{1}{\rho_2}=\frac{1}{4000}=0,00025$$

Мы получили ответ в метрах кубических. В сантиметрах это будет в $10^6$ раз больше, то есть 250 см$^3$.

Ответ: 250 см$^3$.

Задача 5.

Средняя плотность каши с маслом в 2 раза больше, чем масла и в три раза меньше, чем просто каши. Чему равно отношение массы каши к массе масла? Ответ округлите до десятых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем. Запишем среднюю плотность каши с маслом:

$$\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{m_k+m_m}{V_k+V_m}=\frac{ m_k+m_m }{\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}}$$

Тогда сумма масс каши и масла равна:

$$ m_k+m_m=\left(\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}\right)\rho_{sr}=\frac{m_k}{\rho_k}\rho_{sr}+\frac{m_m}{\rho_m}\rho_{sr}$$

Тогда, перенося в разные стороны слагаемые, содержащие массы каши и масла, получим:

$$m_k-\frac{\rho_{sr} }{\rho_k} m_k=\frac{\rho_{sr}}{\rho_m}m_m-m_m$$

$$m_k(1-\frac{1}{3})=m_m(2-1)$$

Отношение масс будет равно:

$$\frac{m_k}{m_m}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1,5$$

Ответ: 1,5.