Плотность вещества: смеси и сплавы (Сириус)

Задача 1.

Латунную деталь получили, сплавив брусок меди и брусок цинка. Найдите отношение объёма бруска меди к объёму бруска цинка $\frac{V_{Cu}}{V_{Zn}}$, если плотность меди $\rho_{Cu}=8,9$ г/см$^3$, плотность цинка $\rho_{Zn}=7,1$ г/см$^3$, плотность латуни $\rho=8,4$ г/см$^3$. Ответ округлите до десятых.

Решение. Что есть плотность латуни? Это масса всех составляющих, деленная на суммарный объем. Или даже удобнее будет записать массу сплава как сумму масс ингредиентов. Тогда

$$( V_{Cu}+V_{Zn})\cdot \rho = V_{Cu}\cdot \rho_{Cu}+ V_{Zn}\cdot \rho_{Zn}$$

$$ V_{Cu}\cdot (\rho-\rho_{Cu})= V_{Zn}\cdot (\rho_{Zn}-\rho)$$

Искомое отношение

$$\frac{ V_{Cu}}{ V_{Zn}}=\frac{\rho_{Zn}-\rho }{\rho-\rho_{Cu}}=\frac{7,1-8,4 }{8,4-8,9}=\frac{1,3}{0,5}$$

Ответ: $\frac{13}{5}$ или 2,6.

Задача 2.

Слиток одного металла сплавили со слитком второго металла так, что получился сплав, имеющий плотность в 1,25 превышающую плотность второго металла. Определите отношение плотности первого металла к плотности сплава $\frac{\rho_1}{\rho}$, если известно, что объём слитка первого металла в 2 раза превышает объём слитка второго металла. Ответ округлите до десятых.

Решение. Пусть плотность второго металла $\rho_2$, плотность сплава $\rho$, плотность первого металла $\rho_1$. Известно, что

$$\frac{\rho}{\rho_2}=1,25$$

Пусть объем первого металла $2V$, второго $V$. Тогда

$$m_1+m_2=m$$

$$\rho_1\cdot 2V+\rho_2\cdot V=\rho \cdot 3V$$

$$\rho_1\cdot 2V+\frac{\rho}{1,25}\cdot V=\rho \cdot 3V$$

Разделим на $V$ и на $\rho$:

$$2\rho_1+0,8\rho=3\rho$$

$$\frac{2\rho_1}{\rho}=3-0,8$$

$$\frac{2\rho_1}{\rho}=2,2$$

$$\frac{\rho_1}{\rho}=1,1$$

Ответ: 1,1

Задача 3.

Сплав изготовили из трёх металлов, причём известно, что плотность первого металла в 1,3 раза больше плотности сплава, плотность второго металла составляет 0,5 от плотности сплава, а плотность третьего металла составляет 0,8 от плотности сплава. Массы второго и третьего металлов в сплаве одинаковы. Определите отношение массы первого металла в сплаве к массе второго металла $\frac{ m_1}{ m_2}$. Ответ округлите до десятых.

Решение. Запишем условие кратко: $\rho_1=1,3\rho, \rho_2=0,5\rho, \rho_3=0,8\rho$, $m_2=m_3=m$. Пусть масса сплава $M=m_1+2m$.

Поступим так же, как в предыдущей задаче:

$$M=\rho V=\rho(V_1+V_2+V_3)=\rho\left(\frac{m_1}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}+\frac{m_3}{\rho_3}\right)$$

$$M=\rho\left(\frac{m_1}{1,3\rho}+\frac{m}{0,5\rho}+\frac{m}{0,8\rho}\right)$$

$$m_1+2m=\rho\left(\frac{m_1}{1,3\rho}+\frac{m}{0,5\rho}+\frac{m}{0,8\rho}\right)$$

$$\frac{m_1+2m}{\rho}=\frac{m_1}{1,3\rho}+\frac{m}{0,5\rho}+\frac{m}{0,8\rho}$$

$$m_1+2m=\frac{m_1}{1,3}+\frac{m}{0,5}+\frac{m}{0,8}$$

$$m_1=\frac{m_1}{1,3}+\frac{m}{0,8}$$

$$m_1(1-\frac{1}{1,3})=\frac{5}{4}m$$

$$\frac{m_1}{m}=\frac{1,25}{1-\frac{1}{1,3}}=5,42$$

Ответ: 5,4.

Задача 4.

Сплав изготовлен из двух металлов так, что плотность одного металла на 300 кг/м$^3$ больше, чем плотность сплава, а плотность второго металла на 200 кг/м$^3$ меньше плотности сплава. Определите отношение исходного объёма слитка первого металла к объёму всего сплава $\frac{V_1}{V}$. Ответ округлите до десятых.

Решение. Плотность первого металла обозначим $\rho+300$, плотность второго $\rho-200$, плотность сплава - $\rho$. Сумма масс металлов равна массе сплава:

$$(\rho+300)V_1+(\rho-200)V_2=\rho(V_1+V_2)$$

$$300V_1-200V_2=0$$

$$V_1=\frac{2}{3}V_2$$

Мы ищем отношение $\frac{V_1}{V_1+V_2}$, оно будет равно

$$\frac{\frac{2}{3}V_2}{\frac{2}{3}V_2+V_2}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$$

Ответ: 0,4

Задача 5.

В чистой воде растворена кислота. Масса раствора 360 г, а его плотность 1,2 г/см$^3$. Определите массу кислоты, содержащейся в растворе, если плотность кислоты 1,7 г/см$^3$, плотность воды 1 г/см$^3$. Ответ дайте в г, округлив до целого числа. Считайте, что объём раствора равен сумме объёмов его составных частей.

Решение. Представим массу раствора как сумму масс:

$$M=m_1+m_2$$

$$M=\rho_1V_1+\rho_2V_2$$

Или

$$360=1,7V_1+V_2$$

Но объем раствора

$$V=\frac{M}{\rho}=\frac{360}{1,2}=300=V_1+V_2$$

Вот и получили систему уравнений. Решаем:

$$360=1,7V_1+300-V_1$$

$$60=0,7V_1$$

$$V_1=\frac{600}{7}$$

Это объем кислоты. А ее масса

$$m_1=1,7V_1=1,7\cdot\frac{600}{7}=145,7$$

Ответ: 146 г

Задача 6.

Сплав свинца с оловом имеет плотность 10,0 г/см$^3$. Известно, что масса свинца в сплаве больше массы олова на 500 г. Определите массу сплава. Ответ дайте в кг, округлив до сотых. Плотность свинца 11,3 г/см$^3$, плотность олова 7,3 г/см$^3$.

Решение. Объем свинца $V_{Pb}=\frac{m+500}{\rho_{Pb}}$, где $m$ - масса олова. Объем олова $V_{ol}=\frac{m}{\rho_{ol}}$. Объем сплава $V=\frac{2m+500}{\rho}$,  таким образом

$$\frac{m+500}{\rho_{Pb}}+\frac{m}{\rho_{ol}}=\frac{2m+500}{\rho}$$

$$\frac{m+500}{11,3}+\frac{m}{7,3}=\frac{2m+500}{10}$$

Это уравнение уже совсем несложно решить.

$$m=225,65$$

Ответ:  0,95 кг