Сообщающиеся сосуды: задачи из Сириуса

Задача 1.

В сообщающиеся сосуды, разделенные краном К, налит керосин. Площадь поперечного сечения левого сосуда в полтора раза больше, чем у правого сосуда. Плотность керосина 0,8 г/см$^3$. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$. Определите высоту уровня керосина в сосудах после того, как кран откроют. Ответ дайте в см, округлив до десятых.

Решение.

Рисунок к задаче 1

Рассмотрим узкий сосуд. В нем уровень керосина на 20 см выше, чем в широком, а площадь его – ну пусть будет $S$, тогда у широкого - $1,5S$. Излишек керосина в узком сосуде составляет $20S$ см$^3$, и этот излишек разольется по площади $S+1,5S$, когда откроют кран. Тогда высота слоя, им образованного, будет равна

$$h=\frac{20S}{2,5S}=8$$

То есть над столбом в 10 см образуется еще столбик высотой 8 см, и общая высота окажется равной 18 см.

Ответ: 18 см.

Задача 2.

Два сообщающихся сосуда, площади сечения которых отличаются в два раза, частично заполнены жидкостями с плотностями $\rho$ и  $1,2\rho$ до уровней $h_1=13,5$ см и $h_2=21$ см. Жидкость плотностью $\rho$ налита в узкий сосуд. Кран в соединительной трубке изначально закрыт. На сколько сантиметров поднимется уровень жидкости в узком сосуде после открывания крана? Ответ округлите до десятых. Сверху сосуды открыты в атмосферу. Объемом соединительной трубки можно пренебречь. Жидкости из сосудов не выливаются. Донья сосудов находятся на одном и том же горизонтальном уровне.

Решение.

Рисунок к задаче 2

Понятно, что более плотная жидкость после открытия крана заполнит оба сосуда снизу, приподняв более легкую жидкость и подтекая под нее. Давайте сначала установим, какая высота столба более плотной жидкости $x$ уравновесит столб менее плотной, так как столб менее плотной жидкости вообще никак не изменится – только приподнимется.

Что произошло после открытия крана

$$\rho g h_1=1,2\rho g x$$

$$h_1=1,2x$$

$$x=\frac{h_1}{1,2}=11,25$$

Объем этого столба жидкости равен $11,25\cdot 2S$, если площадь узкого сосуда $S$, а широкого - $2S$. Первоначальный объем более плотной жидкости равен $21\cdot 2S$, значит, объем, распределившийся по обоим сосудам равен $42S-22,5S=19,5S$. Это тот объем, который находится под уровнем однородной жидкости. Понятно, что он распределен по площади обоих сосудов и образует столб высотой $y=\frac{19,5S}{3S}=6,5$ см. Именно на эту величину и поднимется уровень жидкости в узком сосуде.

Ответ: 6,5 см

Задача 3.

В левое колено U-образной трубки с водой долили слой керосина высотой $h=20$ см. На сколько поднимется уровень воды в правом колене? Ответ дайте в см, округлив до десятых. Отношение плотности керосина к плотности воды $\frac{\rho_2}{\rho_1}=0,8$.

Решение. Слою керосина в 20 см соответствует слой воды в 16 см, так как

$$\rho_2 g h_2=\rho_1 g h_1$$

$$h_1=0,8h_2=16$$

Пусть сначала в трубке была только вода и в обоих коленах она образовывала столб $x$ см. То есть всего $2x$ воды. После доливания керосина в левое колено в правом должен быть уравновешивающий его столб в 16 см, как мы выяснили ранее, значит, остаток ($2x-16$) распределится в обоих коленах, и в одном окажется столб $x-8$. Следовательно, слой воды под керосином имеет высоту $x-8$, то есть уровень опустился на 8 см. Ну, значит, в правом поднялся на те же 8 см.

Ответ: на 8 см.

Задача 4.

В цилиндрических сообщающихся сосудах, диаметры которых относятся как 3:1, первоначально находится жидкость плотностью $\rho$. В узкий сосуд наливают жидкость плотностью $0,9\rho$. Высота столба этой жидкости $h=20$ см. На сколько поднимется уровень жидкости плотностью $\rho$ в широком сосуде? Ответ дайте в см, округлив до десятых.

Решение. Сначала подумаем, как относятся площади сосудов. Все круги подобны, а коэффициент подобия здесь равен 3 (отношение диаметров, или радиусов). Площади же подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия – то есть площадь узкого сосуда $S$, широкого – $9S$.

Пусть в широком столб жидкости поднимется на высоту $y$, а в узком опустится на $x$. Тогда давление на уровень однородной жидкости одинаково и можно записать:

$$0,9\rho\cdot 0,2 g=(x+y)\rho g$$

$$0,9\cdot 0,2 =x+y$$

Но $9y=x$, так как объем жидкости плотностью $\rho$, вытесненный из узкого сосуда в широкий, можно записать как $xS$, или как $e\cdot 9S$, и это один  и тот же объем:

$$xS=9yS$$

$$x=9y$$

Подставим это:

$$0,18=x+y=10y$$

$$y=0,018$$

Ответ: 1,8 см

Задача 5.

В разных цилиндрических сообщающихся сосудах первоначально находилась вода. В широкий сосуд налили слой керосина высотой $h=12$ см. При этом уровень воды в этом сосуде опустился  на $x=2$ cм. Определите, во сколько раз площадь сечения широкого сосуда больше площади сечения узкого сосуда. Ответ округлите до десятых. Отношение плотности керосина к плотности воды $\frac{\rho_2}{\rho_1}=0,8$.

Решение. Запишем давление на уровень однородной жидкости в обоих сосудах:

$$\rho_2 \cdot g\cdot h=\rho_1\cdot g\cdot h_1$$

$$\frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot h=h_1$$

$$h_1=0,8\cdot 12=9,6$$

Значит, столб керосина уравновешивает столб воды 9,6 см. Объем, перекочевавший из широкого сосуда, равен $2\cdot S_2$, в узком сосуде его можно записать как $xS_2$, где $x=9,6-2=7,6$ см.

Рисунок к задаче 5

Тогда

$$2S_2=xS_1$$

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{x}{2}=\frac{7,6}{2}=3,8$$

Ответ: 3,8.