Несколько задач на сообщающиеся сосуды из задачника Замятнина

Задача 5.60. 

$U$‑образная трубка одинакового сечения частично заполнена водой. Насколько повысится уровень воды в левой трубке, если в правую налить $h=30$ см керосина?

Решение. Давление столба керосина в правом колене должно уравновешиваться давлением столба воды в левом колене (относительно уровня однородной жидкости). Пусть $\rho_k=800$ кг/м$^3$ — плотность керосина, $\rho_v=1000$ кг/м$^3$ — плотность воды.

Когда в правое колено доливают керосин, уровень воды в правом колене опускается на величину $x$, а в левом — поднимается на $x$. Разность уровней воды между коленами составит $2x$.

Условие равновесия давлений на уровне однородной жидкости: 

$$\rho_k gh=\rho_v g\cdot 2x$$

Сокращая $g$, получаем: 

$$x=\frac{\rho_k h}{2\rho_v}=\frac{800\cdot 0,3}{2\cdot 1000}=0,12$$

Ответ: уровень воды в левой трубке повысится на 12 см.

 

Задача 5.61. 

Концы $U$‑образной трубки одинакового сечения на $h=30$ см выше уровня воды в ней. Левую трубку целиком заполнили керосином. Определите высоту столба керосина в трубке.

Решение. Пусть $H$ — искомая высота столба керосина. Поскольку трубку заполнили целиком, $H$ равна длине левой ветви трубки над уровнем воды. Но уровень воды-то опустится!

Пусть уровень воды в левом колене опустился на $x$, тогда в правом он поднялся на $x$. Разность уровней воды составит $2x$. А $H$ тогда $H=30+x$.

Уравнение равновесия: 

$$\rho_k gH=\rho_v g\cdot 2x$$

$$\rho_k (30+x)=\rho_v \cdot 2x$$

$$800(30+x)=1000\cdot 2x$$

$$1200x=24000$$

$$x=20$$

$$H=30+20=50$$

Ответ: 50 см

Задача 5.62.

 В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой $h=20$ см. Насколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Решение. Пусть $S$ — площадь сечения узкого сосуда, тогда $4S$ — широкого. Высота столба керосина $h=20$ см.

При наливании керосина уровень воды в узком сосуде опустится на $x_1$​, а в широком поднимется на $x_2$​. Из условия несжимаемости воды: объём воды, вытесненный из узкого сосуда, равен объёму, поступившему в широкий: 

$$S\cdot x_1=4S\cdot x_2$$

Или

$$x_1=4x_2$$

Разность уровней воды между сосудами составит 

$$x_1+x_2=4x_2+x_2=5x_2$$

Давление столба керосина в узком сосуде уравновешивается давлением столба воды высотой $5x_2$​: 

$$\rho_kgh=\rho_v g\cdot 5x_2$$

$$800\cdot 0,2=1000\cdot 5x_2$$

$$x_2=\frac{0,16}{5}=0,032$$

Тогда 

$$x_1=4\cdot 0,032=0,128$$ 

Ответ: уровень воды в широком сосуде повысится на 3,2 см, а в узком опустится на 12,8 см.

 

Задача 5.63.

 В сообщающиеся сосуды налита ртуть. А поверх неё в один сосуд налит столб масла высотой $h_1=48$ cм, а в другой — столб керосина высотой $h_2​=0,2$ м. Определите разность уровней ртути в обоих сосудах.

Решение. Переведём $h_2$​ в сантиметры: $h_2=20$ см.

Плотность масла $\rho_m=900$ кг/м$^3$, плотность керосина $\rho_k=800$ кг/м$^3$, плотность ртути $\rho_{rt}=13600$ кг/м$^3$.

Разность уровней ртути $\Delta h$ возникает из‑за разности давлений, создаваемых столбами масла и керосина. Условие равновесия на уровне однородной жидкости

$$\rho_m gh_1=\rho_k gh_2+\rho_{rt}g\Delta h$$

$$\rho_m h_1=\rho_k h_2+\rho_{rt}\Delta h$$

$$900 \cdot 48=800\cdot 20 +13600\Delta h$$

$$\Delta h=2$$

Ответ: разность уровней ртути в сосудах составит 2 см.

 

Задача 5.64.

 В сосуд с водой вставлена трубка сечением $S=2$ см. В трубку налили $m=72$ г масла. Найдите разность уровней воды и масла.

Решение: плотность масла $\rho_m=900$ кг/м$^3$.

Объём масла (в см куб): 

$$V=\frac{m}{\rho_m}=\frac{72}{0,9}=80$$

 Высота столба масла в трубке (в см): 

$$h_m=\frac{V}{S}=\frac{80}{2}=40$$

Пусть $\Delta h=h_v-h_m$ — разность уровней воды и масла. Давление столба масла уравновешивается давлением столба воды:

$$\rho_m gh_m=\rho_v gh_v$$

$$h_v=\frac{\rho_m h_m }{\rho_v }=\frac{40\cdot 900}{1000}=0,36$$

Найдем разность: 

$$\Delta h=h_v-h_m=40-36=4$$

Разность уровней - 4 см.

Ответ: разность уровней воды и масла равна 4 см.

 

Задача 5.65.

 В сосуде с водой на подставках находится цилиндр без дна. Высота выступающей из воды части цилиндра 5 см. Внутрь цилиндра заливают масло. Какую высоту должен иметь цилиндр, чтобы его можно было заполнить маслом целиком?

Решение. Пусть $H$ — полная высота цилиндра, $h=5$ см — высота над водой. Тогда глубина погружения цилиндра в воду равна $H-h$.

Когда внутрь цилиндра наливают масло, оно создаёт давление, которое уравновешивается столбом воды снаружи. Чтобы цилиндр можно было заполнить маслом целиком, давление столба масла высотой $H$ должно быть уравновешено давлением столба воды высотой $H-h$.

Условие равновесия:

$$\rho_m g H=\rho_v g(H-h)$$

$$\rho_m H=\rho_v (H-h)$$

$$\rho_v h =(\rho_v-\rho_m)H$$

$$H=\frac{\rho_v h }{\rho_v-\rho_m }=\frac{1000\cdot 0,05}{1000-900}=0,5$$

Ответ: 50 см

 

Задача 5.66. 

Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. В левый цилиндр добавили слой керосина высотой $H_1=20$ см, а в правый — высотой $H_2=25$ см. Насколько повысился уровень воды в среднем сосуде?

Решение. Пусть площадь сечения каждого цилиндра $S$. При добавлении керосина уровень воды в левом и правом цилиндрах опустится, а в среднем — поднимется.

Объём воды, вытесненный из левого и правого цилиндров, равен объёму, поступившему в средний:

$$Sh_{lev}+Sh_{prav}=Sx$$

$h_{lev}$ и $ h_{prav}$ — изменения уровня воды в левом и правом цилиндрах, $x= -h_{lev}+ (-h_{prav})$ - изменение уровня воды в среднем цилиндре.

Давление столба керосина в левом цилиндре: 

$$\rho_k g H_1=\rho_v g (x− h_{lev})$$

$$\rho_k H_1=\rho_v (x− h_{lev})$$

Аналогично для правого: 

$$\rho_k g H_2=\rho_v g(x− h_{prav})$$

$$\rho_k H_2=\rho_v (x− h_{prav})$$

Из уравнений: 

$$x− h_{lev}=\frac{\rho_k H_1}{\rho_v }$$

$$x− h_{prav}=\frac{\rho_k H_2}{\rho_v } $$

Сложим эти уравнения: 

$$2x−(h_{lev}+ h_{prav})=\frac{\rho_k(H1+H2)}{\rho_v}$$

Из условия несжимаемости подставим $-x= h_{lev}+ h_{prav}$:

$$2x−(-x)=\frac{\rho_k(H1+H2)}{\rho_v}$$

$$3x=\frac{\rho_k(H1+H2)}{\rho_v}=\frac{800(0,2+0,25)}{1000}=0,36$$

$$x=0,12$$

Ответ: уровень воды в среднем сосуде повысился на 12 см.

 

Задача 5.67. 

В два цилиндрических сообщающихся сосуда наливают ртуть. Сечение одного из сосудов вдвое больше другого. В широкий сосуд доливают воду до края. На какую высоту $h$ поднимется при этом ртуть в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на высоте $L$ от верхнего края широкого сосуда. Плотности ртути $\rho$ и воды $\rho_0$ известны.

Решение. Пусть $S$ — площадь сечения узкого сосуда, $2S$ — широкого. При доливании воды в широкий сосуд до края, уровень ртути в нём опустится на $x$, а в узком поднимется на $h$.

Из условия несжимаемости ртути: 

$$2Sx=Sh$$

$$h=2x$$

Разность уровней ртути между сосудами: 

$$x+h=x+2x=3x$$

Давление столба воды высотой $L+x$ уравновешивается давлением столба ртути высотой $3x$: 

$$\rho_0 g (L+x)=\rho g\cdot 3x$$

$$\rho_0 (L+x)=\rho\cdot 3x$$

$$\rho_0 L+\rho_0 x=\rho\cdot 3x$$

$$\rho_0 L=x(3\rho-\rho_0)$$

$$x=\frac{\rho_0 L }{3\rho-\rho_0}$$

$$h=2x=\frac{2\rho_0 L }{3\rho-\rho_0}$$

Ответ: $h=\frac{2\rho_0 L }{3\rho-\rho_0}$

Задача 5.68.

В сообщающихся сосудах разных сечений находится ртуть. После того, как в более узкий сосуд налили столб масла высотой $H=60$ см, уровень ртути в широком сосуде повысился относительно первоначального на $h=0,7$ см. Определите отношение площадей поперечных сечений сосудов.

Решение. Объем ртути, выдавленный из узкого сосуда маслом, переходит в широкий:

$$S_1 x=S_2h$$

Кроме того, давление столба масла уравновешивается давлением столба ртути высотой $x+h$:

$$\rho_m g H=\rho_{rt}g (x+h)$$

$$\rho_m H=\rho_{rt}\left(\frac{S_2h}{S_1}+h\right)$$

$$900\cdot 0,6=13600\cdot 0,007\left(\frac{S_2}{S_1}+1\right)$$

$$\frac{S_2}{S_1}+1=5,67$$

$$\frac{S_2}{S_1}=4,67$$

Ответ: $\frac{S_2}{S_1}=4,67$