Задачи на силу Архимеда из книги Александрова (и других) "Методическое пособие по физике для учащихся старших классов и абитуриентов"

Задача 1.

Однородную деревянную палочку в форме цилиндра постоянного поперечного сечения удерживают притопленной в воде с помощью нити. Палочка погружена в воду на 90% своей длины (рис.). Если палочку удерживать за нить, погрузив в воду 80% ее длины, то палочка остается в вертикальном положении и сила натяжения нити уменьшается на $\frac{1}{3}$. Найдите плотность дерева. Плотность воды 1г/см$^3$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Запишем второй закон Ньютона  для обоих случаев. Для первого:

$$F_{A1}=mg+T$$

Распишем сразу же силу Архимеда - 1:

$$\rho g \cdot 0,9V=mg+T\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Для второго:

$$F_{A2}=mg+\frac{2}{3}T$$

Распишем силу Архимеда - 2:

$$\rho g\cdot 0,8V=mg+\frac{2}{3}T\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Вычтем уравнения (1) и (2) – из первого второе:

$$\rho g\cdot 0,1V=\frac{1}{3}T$$

Откуда

$$T=0,3\rho g V$$

С другой стороны,

$$T= F_{A1}-mg=\rho g\cdot 0,9V-mg$$

Тогда, подставляя в последнее равенство $T=0,3\rho g V$, имеем:
$$0,3\rho g V=\rho g\cdot 0,9V-mg$$

Или

$$mg=0,6\rho g V$$

Наконец, плотность дерева можно найти как $\frac{m}{V}$:

$$m=0,6\rho V$$

$$\frac{m}{V}=0,6\rho=600$$

Ответ: плотность палочки 600 кг/м$^3$.

Задача 2.

Деревянный брусок с приклеенными к нему снизу двумя одинаковыми болтами плавает в воде так, что болты полностью находятся в воде. При этом в воде находится 90% объема бруска. Когда один болт отклеился и утонул, брусок оказался погруженным в воду на 80% своего объема. Найдите плотность бруска. Плотность воды 1 г/см$^3$.

Решение. Пишем для обеих ситуаций второй закон Ньютона. Пусть масса болта $m$, а бруска - $M$:

$$(2m+M)g=0,9\rho g\cdot V$$

$$(m+M)g=0,8\rho g\cdot V$$

И, как и в прежней задаче, вычтем их друг из друга:

$$mg=0,1\rho g\cdot V$$

Осталось подставить найденное хоть в первое, хоть во второе уравнение:

$$mg+Mg=0,8\rho g\cdot V$$

$$0,1\rho g\cdot V +Mg=0,8\rho g\cdot V$$

$$Mg=0,7\rho g\cdot V$$

Плотность бруска тогда равна

$$\frac{M}{V}=0,7\rho=700$$

Ответ: плотность бруска 700 кг/м$^3$.

Задача 3.

На плоту из бревен могут находиться несколько человек равной массы, не касаясь воды. Если на плоту находится четыре человека, то над водой остается 10% объема бревен. Когда на плоту находится три человека, то над водой остается 20% объема бревен. Найдите плотность бревен. Плотность воды 1 г/см$^3$.

Решение. Пусть масса человека $m$, а плота - $M$. Запишем второй закон Ньютона для двух ситуаций: когда на плоту 4 и 3 человека.

$$(4m+M)g=0,9\rho g\cdot V$$

$$(3m+M)g=0,8\rho g\cdot V$$

Снова вычитаем уравнения:

$$mg=0,1\rho g\cdot V$$

Подставим во второе:

$$3mg+Mg=0,8\rho g\cdot V$$

$$0,3\rho g\cdot V +Mg=0,8\rho g\cdot V$$

Откуда

$$Mg=0,5\rho g\cdot V$$

Плотность бревен плота

$$\frac{M}{V}=0,5\rho=500$$

Ответ: плотность бревен 500 кг/м$^3$.