Сила Архимеда. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

Сегодня рассмотрим задачи на силу Архимеда. Некоторые из них удобнее решать способом "силы давления на дно" - особенно этот способ удобен, когда, например, лед тает в стакане, или в сосуде плавает дощечка, а потом ее переворачивают и т.п. В этой статье по-настоящему интересна последняя задача.

Задача 1.

С деревянным шариком и высоким сосудом с водой проводятся четыре опыта: в первом опыте они взвешиваются, когда шарик плавает в сосуде, во втором опыте при взвешивании шарик привязан ко дну сосуда, в третьем опыте шарик удерживается под водой с помощью тонкого стержня, и, наконец, в четвёртом опыте шарик всплывает во время взвешивания. В каком случае масса гири, уравновешивающей сосуд с шариком, будет больше?

К задаче 1

Решение.

В первом и втором опытах масса гири должна быть равна массе сосуда с водой и шариком. Во втором опыте уровень воды больше чем в первом, и, значит, больше сила давления воды на дно сосуда, но зато на дно действует со стороны шарика через нить сила, направленная вверх.

В третьем опыте к силе тяжести, действующей на сосуд, воду и шарик, прибавляется ещё и сила, действующая на систему со стороны стержня. Значит, масса гири должна быть больше, чем в первых двух опытах.

В четвёртом случае шарик поднимается, но на его место опускается более тяжелая вода. Поэтому центр масс системы опускается. Сила Архимеда превышает силу тяжести, так что шарик поднимается с ускорением вверх, поэтому центр масс системы «сосуд с водой + шарик» тоже движется с ускорением, но вниз. То есть внешней силы не хватает для того, чтобы удерживать систему в равновесии, поэтому масса гири меньше массы системы.

Окончательно получаем, что правильный ответ в.

Ответ: в.

Задача 2.

Бутыль плавает на поверхности воды так, что $\alpha=0,84$ её объема находится под водой. Определите массу бутыли, если её ёмкость (объём внутренней полости) $V_{_\Pi}=1,6$ л. Плотность воды $\rho_0=1~$г/см$^3$, стекла $\rho=2,5~$г/см$^3$. Ответ выразить в кг, округлив до целых.

Решение.

Пусть $V$ — полный объём бутыли. Тогда объём стекла равен $V-V_{_\Pi}$. Условие плавания бутыли

$$m\cdot g=\alpha \cdot V\cdot \rho_0\cdot g,$$

или

$$(V-V_{_\Pi})\cdot \rho \cdot g=\alpha \cdot V\cdot \rho_0\cdot g,$$

откуда объём бутыли

$$V=\frac{\rho\cdot V_{_\Pi}}{\rho-\alpha\cdot \rho_0}.$$

Таким образом, масса бутыли равна

$$m=\rho\cdot (V-V_{_\Pi})=\frac{\rho\cdot V_{_\Pi}\cdot \alpha \cdot \rho_0}{\rho-\alpha\cdot \rho_0}=2.$$

Ответ: 2 кг.

Задача 3.

Груз, подвешенный к динамометру, опускают в воду, пока уровень воды в сосуде не поднимется на $\Delta h=5$ см. Показание динамометра при этом изменилось на $\Delta F=1,0$ Н. Определите площадь дна сосуда. Плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3$. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$. Ответ выразить в см$^2$, округлив до целых.

Решение.

Проще решать эту задачу через силу, действующую на дно. Сила, действующая на груз со стороны жидкости равна $\Delta F$. По третьему закону Ньютона груз с той же по модулю силой давит на воду, таким образом, сила давления на дно со стороны содержимого возросла на $\Delta F$. Но реально на дно увеличилась сила давления столба жидкости $\rho\cdot \Delta h\cdot g\cdot S=\Delta F$. Откуда

$$S=\frac{\Delta F}{\Delta h\cdot \rho \cdot g}=20.$$

Ответ: 20 см.

Задача 4.

На концы легкого стержня длиной $L=80$ см нанизаны два шарика, первый из чугуна, второй из магния. Стержень серединой опирается на иглу и опущен в воду, где он находится в горизонтальном равновесии. На сколько нужно передвинуть вдоль стержня второй шарик, чтобы система сохраняла равновесие в воздухе? Плотность чугуна $\rho_1=7140$ кг/м$^3$, магния $\rho_2=1740$ кг/м$^3$, воды $\rho=1000$ кг/м$^3$. Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

Условие равновесия в воде

$$(m_1\cdot g-F_{A1})\cdot \frac{L}{2}=(m_2\cdot g-F_{A2})\cdot \frac{L}{2}$$

Учитывая, что $F_{A1}=V_1\cdot \rho \cdot g$, $F_{A2}=V_2\cdot \rho \cdot g$, $m_1=\rho\cdot V_1$, $m_2=\rho\cdot V_2$, получаем

$$V_1\cdot(\rho_1-\rho)\cdot g= V_2\cdot(\rho_2-\rho)\cdot g,$$

откуда отношение объёмов шариков

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\rho_1-\rho}{\rho_2-\rho}.$$

Условие равновесия в воздухе

$$m_1\cdot g\cdot \frac{L}{2}=m_2\cdot g\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right),$$

откуда отношение объёмов шариков

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\rho_1\cdot \frac{L}{2}}{\rho_2\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right)}.$$

Поскольку отношение объёмов шариков не зависит от того, где они находятся, получаем

$$\frac{\rho_1-\rho}{\rho_2-\rho}=\frac{\rho_1\cdot \frac{L}{2}}{\rho_2\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right)},$$

откуда

$$x=\frac{L}{2}\cdot \frac{\rho\cdot(\rho_1-\rho_2)}{\rho_2\cdot (\rho_1-\rho)}=20.$$

Ответ: 20 см.

Задача 5.

В стакане с водой плавает деревянная шайба с цилиндрическим сквозным отверстием. Ось шайбы и отверстия параллельны. Площадь дна стакана $S=20$ см$^2$, площадь сечения отверстия $S_1=10$ см$^2$. Отверстие осторожно заполняют доверху маслом. На какую высоту поднимется шайба, если вначале её выступающая часть имела высоту $h=2$ см? Плотность масла $\rho_{_M}=600$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_{_B}=1000$ кг/м$^3$. Известно, что всё масло осталось в отверстии. Ответ выразить в мм, округлив до целых.

Решение.

Нетрудно понять, что при осторожном наполнении отверстия маслом шайба будет постепенно подниматься, пока отверстие не окажется заполненным доверху. Если при этом уровень воды вне шайбы в стакане поднимется на величину $x$, то ровно настолько поднимется и шайба. Пусть высота слоя воды внутри отверстия будет при этом равна $y$. Если высота шайбы равна $d$, то остальную часть отверстия, высоту $(d-y)$, будет заполнять масло. Тогда из условия равенства давления, создаваемого водой и маслом внутри отверстия, получим, что

$$\rho_{_B}\cdot g\cdot (d-h)=\rho_{_B}\cdot g\cdot y+\rho_{_M}\cdot g\cdot (d-y),$$

откуда

$$y=d-\frac{\rho_{_B}\cdot h}{\rho_{_B}-\rho_{_M}}$$

Так как масса масла, находящегося в отверстии, равна $\Delta m=\rho_{_M}\cdot S_1\cdot (d-y)$, то сила давления на дно стакана после добавления масла должна возрасти на величину

$$\Delta F=\Delta m\cdot g=\rho_{_M}\cdot S_1\cdot (d-y)\cdot g.$$

С другой стороны, из-за поднятия уровня воды в стакане на величину $x$ давление на дно стакана возрастает на величину $\Delta P=\rho_{_B}\cdot x\cdot g$, а сила давления на дно на величину

$$\Delta F=\rho_{_B}\cdot x\cdot g\cdot S.$$

Приравнивая правые части выражений для изменения силы, получаем

$$\rho_{_M}\cdot S_1(d-y)\cdot g=\rho_{_B}\cdot x\cdot g\cdot S,$$

откуда изменение уровня воды в стакане

$$x=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1(d-y)}{\rho_{_B}\cdot S}=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1\cdot h}{(\rho_{_B}-\rho_{_M})\cdot S}.$$

Шайба поднимется на высоту $\Delta h=x$, следовательно,

$$\Delta h=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1\cdot h}{(\rho_{_B}-\rho_{_M})\cdot S}=15.$$

Ответ: 15 мм.