Сила Архимеда и давление тела на дно: задачи Сириуса.

Задача 1.

Груз, прикрепленный к динамометру, полностью опускают в жидкость, плотность которой в три раза меньше плотности груза. Что показывает динамометр, если масса груза 300 г? Ответ дайте в Н, округлив до десятых. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$.

Решение. Плотность груза $3\rho$, плотность жидкости $\rho$. Груз, имея объем $V$, вытеснит жидкость массой $m=\rho V$. Значит, сила Архимеда будет равна весу этой вытесненной жидкости, а именно $\rho g V$. Масса груза $3\rho V$, вес $3\rho g V$. Этот вес (при котором динамометр показывает 3Н) сила Архимеда уменьшит на 1 Н, и динамометр покажет 2 Н.

Ответ: 2 Н

Задача 2.

Сосуд с керосином стоит на весах. Весы показывают 200 г. Какими будут показания весов, если в керосин аккуратно опустить груз массой 200 г и плотностью 10 г/см$^3$ так, чтобы он не касался дна? Ответ дайте в г, округлив до целого числа. Плотность керосина 0,8 г/см$^3$.

Решение. Плотность груза больше плотности керосина – он утонет (погрузится полностью). Тогда определим его объем – ведь именно от него зависит сила Архимеда.

$$V=\frac{m}{\rho_{gr}}=\frac{200}{10}=20$$

Теперь найдем силу Архимеда, действующую на груз.

$$F_A=\rho_k g V=800\cdot 10 \cdot 20\cdot 10^{-6}=0,16$$

Керосин действует на груз с такой силой, а груз – на сосуд с керосином. Поэтому весы покажут больше на $0,016$ кг, то есть на 16 г – 216 г.

Ответ: 216 г

Задача 3.

Тело плотностью 8 г/см$^3$ лежит на дне сосуда, в котором находятся керосин и вода. Объем тела, погруженный в воду, равен 200 см$^3$, оставшаяся часть тела объемом 300 см$^3$ находится в керосине. С какой силой тело давит на дно сосуда? Ответ дайте в Н, округлив до десятых. Плотность воды 1 г/см$^3$, плотность керосина 0,8 г/см$^3$. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$.

Решение. Объем тела 500 см$^3$, значит, масса 4000 г, или 4 кг. Вес такого тела равен 40 Н. Но сила Архимеда уменьшит его. Тем более, их тут две: одна действует в воде, другая в керосине. Определим обе. В воде:

$$F_{A1}=\rho_1 g V_1=1000\cdot 10\cdot 200\cdot 10^{-6}=2$$

В керосине:

$$F_{A2}=\rho_2 g V_2=800\cdot 10\cdot 300\cdot 10^{-6}=2,4$$

В итоге сила давления груза на дно будет равна $40-2-2,4=35,6$ Н.

Ответ: 35,6 Н

Задача 4.

Тело плавает на границе воды и ртути так, что в воду погружен в три раза больший объем, чем в ртуть. Определите плотность тела, если известно, что оно полностью погружено в жидкости. Ответ дайте в г/см$^3$,  округлив до сотых. Плотность воды $\rho_1=1$ г/см$^3$, плотность ртути $\rho_2=13,6$ г/см$^3$.

Решение. Запишем условие плавания:

$$mg=F_{A1}+F_{A2}$$

$$mg=\rho_1 g \cdot 3V+\rho_2 g\cdot V$$

$$ \rho_t \cdot 4V=3\rho_1 V+\rho_2 \cdot V$$

$$ 4\rho_t =3\rho_1+\rho_2 =3000+13600=16600$$

$$\rho_t =4150$$

Ответ: 4,15 г/см$^3$.