Сила Архимеда, давление на дно: задачи Сириуса

Задача 1. Какой должна быть плотность тела, чтобы оно плавало в воде, погрузившись на $\frac{5}{8}$ своего объема? Ответ дайте в кг/м$^3$, округлив до целого числа. Плотность воды 1 г/см$^3$.

Решение. Запишем условие плавания:

$$mg=F_A$$

$$\rho_t g V=\rho_0 g\cdot \frac{5}{8}V$$

Здесь $\rho_t$ - плотность тела, $\rho_0$ - плотность воды.

$$\rho_t =\rho_0 \cdot \frac{5}{8}=1000\cdot \frac{5}{8}=625$$

Ответ: 625 кг/м$^3$.

Задача 2.

Брусок объемом 50 см$^3$ лежит на дне сосуда с водой, погруженный в воду на $\frac{1}{4}$ своего объема. Плотность воды 1 г/см$^3$, плотность бруска 0,7 г/см$^3$. Определите силу давления бруска на дно сосуда. Ответ дайте в Н, округлив до тысячных. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$.

Решение. Посчитаем силу Архимеда:

$$F_A=\rho_0 g \cdot \frac{1}{4}V$$

Вес бруска был бы равен численно $mg$, если бы ни сила Архимеда. Она уменьшит вес тела и силу давления.

$$N+F_A=mg$$

$$N=mg-F_A$$

$$N=\rho_{br} gV-\rho_0 g \cdot \frac{1}{4}V=700\cdot 10\cdot 50 \cdot 10^{-6}-1000\cdot 10\cdot \frac{50}{4}\cdot 10^{-6}=0,35-0,125=0,225$$

Ответ: 0,225 Н

Задача 3.

Плавающий брусок погружен в ртуть на $\frac{1}{5}$ своего объема. Какая часть объема бруска будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающий брусок? Ответ округлите до сотых. Плотность воды $\rho_1=1$ г/см$^3$, плотность ртути $\rho_2=13,6$ г/см$^3$.

Решение. Запишем условие плавания сначала и потом:

$$mg=\rho_2 g \cdot \frac{1}{5}V$$

$$mg=\rho_2 g V_x+\rho_1 g (V-V_x)$$

Приравниваем правые части:

$$\rho_2 g \frac{1}{5}V=\rho_2 g V_x+\rho_1 g (V-V_x)$$

$$\rho_2 g \frac{1}{5}V-\rho_1 g V =\rho_2 g V_x-\rho_1 g V_x$$

$$\rho_2  \frac{1}{5}V-\rho_1  V =\rho_2 V_x-\rho_1  V_x$$

$$V(\rho_2 \cdot \frac{1}{5}-\rho_1) =(\rho_2 -\rho_1) V_x$$

$$V_x=\frac{(\rho_2 \cdot \frac{1}{5}-\rho_1)V}{\rho_2 -\rho_1}=\frac{2,72-1)V}{13,6-1}=0,137V$$

Ответ: $0,14$

Задача 4.

На дне сосуда с водой находится брусок массой 640 г. Плотность бруска 8 г/см$^3$. Плотность воды 1 г/см$^3$. Определите, с какой минимальной силой брусок может давить на дно. Ответ дайте в Н, округлив до десятых. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$.

Решение. Вес бруска 6,4 Н. Но еще есть сила Архимеда, только она должна быть такой, чтобы брусок не всплыл. При его плотности он и не всплывет. Полный объем бруска равен 80 см$^3$. Погрузим его полностью в воду и сила Архимеда тогда будет максимально возможной, а сила давления на дно - минимальной:

$$N=mg-F_A$$

$$N=mg-\rho_0 g V$$

$$ N=6,4-1000\cdot 10\cdot 80\cdot 10^{-6}=6,4-0,8=5,6$$

Ответ: 5,6 Н.

Задача 5.

На дне сосуда с вертикальными стенками, частично заполненного водой до уровня высотой 3 см, лежит брусок в форме прямоугольного параллелепипеда. Он давит на дно с силой 3 Н. Определите высоту бруска. Ответ дайте в см, округлив до десятых. Площадь дна сосуда 50 см$^3$. Площадь основания бруска 40 см$^2$. Плотность бруска 0,6 г/см$^3$. Плотность воды 1 г/см$^3$. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$.

Решение.  Сила реакции, численно равная весу бруска, это его сила тяжести, уменьшенная на силу Архимеда:

$$N=mg-F_A$$

$$N=\rho_{br} g SH-\rho_0 g S\cdot 0,03$$

$$3=600\cdot 10\cdot 40\cdot 10^{-4}\cdot H-1000\cdot 10\cdot 40\cdot 10^{-4}\cdot 0,03=24H-1,2$$

$$4,2=24H$$

$$H=\frac{4,2}{24}=0,175$$

Ответ: 17,5 см

Задача 6.

В сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости плотности $\rho$ и $0,9\rho$. Тело объёма $V$ плавает так, что $\frac{1}{5}$ часть его объёма погружена в жидкость плотности $\rho$, а $\frac{1}{3}$ — в жидкость плотности $0,9\rho$. Найдите отношение плотности тела к плотности $\rho$. Ответ округлите до десятых.

Решение. Условие плавания:

$$mg=F_{A1}+ F_{A2}$$

$$\rho_t g V=\rho g \cdot \frac{1}{5}V+0,9\rho g \cdot \frac{1}{3}V$$

$$\rho_t =\rho \cdot \frac{1}{5}+0,9\rho  \cdot \frac{1}{3}=0,2\rho+0,3\rho=0,5\rho$$

Ответ: 0,5