Сила Архимеда

В этой статье представляю задачи, связанные с плаванием тел и силой Архимеда. Как обычно, сначала пытаемся решить задачи простые, а затем перейдем к более сложным, которые вы найдете в следующей статье.

Задача 1. В воду погружен стеклянный кубик с ребром 10 см. Нижняя его грань находится на глубине 30 см. Рассчитайте силу давления жидкости, действующую: а) на верхнюю грань кубика; б) на нижнюю грань кубика; в) на правую грань; г) на левую грань; д) на переднюю и заднюю грани. Найдите равнодействующую всех этих сил.

---

 

Давление столба жидкости может быть вычислено по формуле $P=\rho g h$, а сила давления может быть найдена из формулы $P=\frac {F}{S}$, из которой находим: $F=S\cdotP$.

Не забываем, что очень важно помнить про перевод всех данных задачи в систему СИ, поэтому все расстояния и глубины из сантиметров переводим в метры.

Тогда сила давления на грань: $F=\rho g h S=\rho g h l^2$, где $l$ - длина ребра кубика в метрах, $h$ - глубина, причем для боковых граней возьмем среднее значение ($\frac{h}{2}$) так как давление у верхнего края боковых граней и у нижнего – разное.

Сила давления на верхнюю грань, Н:

$$F_v=\rho g h l^2=10^3\cdot10\cdot{0,2}\cdot{{0,1}^2}=20$$

Сила давления на нижнюю грань, Н:

$$F_n=\rho g h l^2=10^3\cdot10\cdot{0,3}\cdot{{0,1}^2}=30$$

Сила давления на боковые грани, заднюю и переднюю, Н:

$$F_{bok}=\rho g h l^2=10^3\cdot10\cdot{0,25}\cdot{{0,1}^2}=25$$

Понятно, что все силы, действующие на боковые, заднюю и переднюю грани друг друга компенсируют, а равнодействующая всех сил будет в итоге суммой сил давления на нижнюю и верхнюю грани:

$$F_{ravn}= F_n - F_v=30-20=10$$

Так как сила давления на нижнюю грань больше, чем на верхнюю, то равнодействующая направлена вверх.

 

Задача 2. Определите объем куска алюминия, на который в керосине действует архимедова сила величиной 120 Н.

---

 

Сила Архимеда может быть вычислена как $F_A=\rho g V$, где $\rho$ - плотность жидкости, а $V$ - объем самого тела. То есть сила Архимеда не зависит  от того, из чего сделано тело, а только от его объема. Вы спросите: почему тогда одинаковые по объему тела, например, шарики равных радиусов, сделанные из дерева и какого-либо металла, по-разному себя ведут в воде: один плавает, второй – тонет? Да просто есть ведь и сила тяжести, которая зависит как раз от массы тела, и в случае деревянного шарика сила Архимеда достаточна, чтобы компенсировать силу тяжести, а в случае с металлическим шариком – нет.

Рассчитаем объем: $V=\frac{F_A}{\rho\cdotg}=\frac{120}{800\cdot10}=0.015$ м$^3$

 

Задача 3. Плавающий деревянный брусок вытесняет 0,5 л воды. Сколько весит брусок?

---

 

Так как брусок плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести. Нас спрашивают в задаче про вес бруска. Так как система в покое и ускорения нет, то вес бруска равен силе тяжести:

$$P=mg=F_A=\rho g V$$

$$P=10^3\cdot10\cdot{0,5}\cdot10^{-3}=5$$

Можно эту задачу решить иначе: вес тела равен весу воды, вытесняемой им. Брусок вытеснил 0,5 литра воды. Воспользовавшись формулой  плотности вещества, определяем, что масса такого количества воды равна 0,5 кг, а вес, значит, 5Н.

 

Задача 4. Тела изготовлены из дерева, пробки и стали. Они имеют объем 100 см $^3$ каждое. Найдите архимедову силу, действующую на каждое тело, если его погрузить в воду.

---

 

Как было показано в одной из предыдущих задач, неважно, из чего изготовлено тело, а важен его объем, поэтому, раз тела обладают одним и тем же объемом, то и сила Архимеда на них действует одинаковая:

$$F_A=\rho g V=10^3\cdot10\cdot10^2\cdot10^{-6}=1$$

Ответ: 1 Н

Задача 5.Тело при погружении в воду становится легче в 5 раз, чем в воздухе. Определите плотность этого тела.

---

 

Мы с вами помним, конечно, что на всякое тело, погруженное как в жидкость, так и в газ, действует сила Архимеда. Поэтому в воздухе она также будет действовать на тело. Однако плотность воздуха так мала по сравнению с плотностью воды, что, я думаю, мы этой силой пренебрежем, и примем вес тела в воздухе равным силе тяжести.

Тогда вес тела $P=mg$ - на воздухе, а вес тела в воде $P_v=\frac{mg}{5}$. А уменьшился вес этого тела в воде благодаря силе Архимеда: $P_v=mg-F_A=mg-\rho_{v} g V$, откуда получаем, что

$$ mg-\rho_{v} g V=mg-\frac{4mg}{5}$$

$$\rho_{v} g V=\frac{4mg}{5}$$

$$\rho_{v}V =\frac{4m}{5}$$

Масса тела равна произведению его плотности на объем: $m=\rho_{t}V$

Подставим:

$$\rho_{v}V =\frac{4\rho_{t}V}{5}$$

$$\rho_{v} =\frac{4\rho_{t}}{5}$$

Откуда и найдем плотность тела:

$$\rho_{t} =\rho_{v}\cdot\frac{5}{4}=10^3\cdot{1.25}=1250$$

Ответ: плотность тела 1250 кг/м$^3$

 

Задача 6. На предмет, целиком погруженный в керосин, действует выталкивающая сила величиной 2 кН. Какой будет архимедова сила, действующая на него в воде? А в спирте?

---

 

Чтобы узнать, какой будет Архимедова сила, нужно знать объем предмета. Определим его, зная Архимедову силу в керосине:  $F_{A1}=\rho_{k} g V$, откуда получаем, что $V=\frac{F_{A1}}{\rho_{k} g}$.

Зная объем, определяем Архимедову силу в воде, Н:

$$F_{A2}=\rho_{v} g \frac{F_{A1}}{\rho_{k} g}=10^4 \frac{2\cdot10^3}{800\cdot10}=2500$$

Так как плотность спирта равна плотности керосина, то и Архимедовы силы в этих жидкостях будут одинаковы.

Задача 7.Цинковый шар имеет массу 360 г. При погружении в воду его вес становится равным 2,8 Н. Сплошной этот шар или полый?

---

 

Определим объем шара в предположении, что полости в нем нет, по формуле плотности (то есть найдем объем куска цинка массой 360 г):

$$V=\frac{m}{\rho}$$

Плотность цинка равна $\rho=7100$ кг/м$^3$, объем получается $V=\frac{0,36}{7100}=5,1\cdot10^{-5}$ м$^3$

Теперь определим реальный объем шара, то есть  тот, который он вытесняет, по известному весу в жидкости. Вес шара $P=mg=0,36\cdot 10=3,6$ Н, вес в жидкости равен $P_v=P-F_A=mg-\rho gV$, откуда объем вытесняемой жидкости (и объем шара)

$$V=\frac{mg-P_v}{\rho g}=\frac{3,6-2,8}{10^4}=8\cdot10^{-5}$$

мы получили больший объем, чем в первом случае, то есть шар имеет полость внутри, которая и влияет на его внешний объем.

 

Задача 8. Камень имеет объем 7,5 дм$^3$ и массу 18,7 кг. Какую силу придется приложить, чтобы удерживать его в воздухе и в воде?

---

 

Чтобы удержать такой камень в воздухе, нужно преодолеть силу тяжести, то есть $P=mg=187$ Н.

Теперь определим, какую силу достаточно будет приложить в воде, ведь там нам поможет сила Архимеда!

$$F_A=\rho g V=10^3\cdot10\cdot{7,5}\cdot10^{-3}=75$$

Тогда сила, которую нужно приложить в воде для удержания камня (или, проще, вес этого камня в воде) равна $P_v=P-F_A=187-75=112$ Н

 

Задача 9. Сплошное однородное тело, будучи погруженным в воду, весит 170 мН, а в глицерин – 144 мН. Каким будет вес этого тела, если его погрузить в четыреххлористый углерод?

---

 

Запишем систему уравнений по тем условиям, что описаны в задаче. Вес тела в воде равен весу тела на воздухе, уменьшенному на силу Архимеда:

$$P_v=P-F_{A1}=P-\rho_v g V_t$$

Вес тела в глицерине равен весу тела на воздухе, уменьшенному на силу Архимеда – только в глицерине сила Архимеда отличается от той, что действовала на тело в воде:

$$P_{gl}=P-F_{A2}=P-\rho_{gl} g V_t$$

Из этих двух уравнений, объединив их в систему, можно найти объем тела. Вычтем второе уравнение из первого:

$$P_v- P_{gl}= F_{A2}- F_{A1}=\rho_{gl} g V_t-\rho_v g V_t$$

$$P_v- P_{gl}= V_t ( \rho_{gl} g -\rho_v g)$$

$$ V_t =\frac{P_v- P_{gl}}{\rho_{gl} g -\rho_v g }$$

Подставляем числа:

$$ V_t =\frac{(170- 144)\cdot10^{-3}}{12600 -10000}=\frac{26\cdot10^{-3}}{2600}=10^{-5}$$

Теперь, когда мы знаем объем тела и плотность четыреххлористого  углерода, можно найти силу Архимеда в нем:

$$F_{A3}=\rho g V_t=1630\cdot10\cdot10^{-5}=110\cdot10^{-3}$$

Ответ: 110 мН

 

Задача 10. Кусок парафина толщиной 5 см плавает в воде. Он имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Какая часть куска выступает над водой?

---

 

Если кусок парафина плавает, а не тонет, значит, сила Архимеда достаточна для того, чтобы компенсировать силу тяжести. Тогда можно записать:

$$mg=\rho_v gV_{pogr}$$

Представим массу куска через его объем и плотность:

$$\rho_p g V=\rho_v gV_{pogr}$$

Здесь $V$ - объем всего куска, а $ V_{pogr}$ - объем погруженной части.

Тогда:

$$\rho_p V=\rho_v V_{pogr}$$

$$\frac{ V_{pogr}}{V} =\frac{\  rho_p }{\rho_v} $$

Так как объем – это произведение площади основания на высоту, то можно сократить площадь:

$$\frac{ h_{pogr}}{h} =\frac{\  rho_p }{\rho_v} $$

$$\frac{h_{pogr}}{5} =\frac{900}{1000} $$

Откуда делаем вывод, что $h_{pogr}=4,5$, то есть из пяти см выступает 0,5 см.

Задача 11. Прямоугольная баржа после приема груза осела на 0,5 м. Принимая длину баржи 5 м, а ширину – 3 м, рассчитать вес принятого ею груза.

---

 

Рассчитаем объем воды, который был вытеснен баржей после осадки:

$V=a\cdot{b}\cdot{h}=5\cdot{3}\cdot{0,5}=7,5$ м$^3$

Такой объем воды весит 7,5 тонн – это легко понять, помня величину плотности воды.

То есть вес груза, принятого баржей, равен $P=mg=7500\cdot10=75\cdot10^3$, или 75 кН.

 

Задача 12. Плот состоит из 12 бревен, каждое из которых имеет объем 0,8 м$^3$. Бревна сосновые. Можно ли на этом плоту переправить на другой берег автомобиль массой 1,5 тонны?

---

 

Рассчитаем вес плота: $P=mg=\rho_{sosn} g V=400\cdot10\cdot(12\cdot0,8)=38400$ Н

К этому весу будет еще добавлен вес автомобиля: $P_a=mg=15000$ Н

Определим силу Архимеда. Если она окажется больше, чем суммарный вес плота и автомобиля, то плот выдержит (не будет затоплен при переправе), а если меньше, то переправлять автомобиль нельзя. Предположим, весь объем плота оказывается в воде при погрузке автомобиля. Тогда сила Архимеда: $F_A= \rho_v g V=1000\cdot 10\cdot(12\cdot0,8)=96000$ Н.

Так как $38400+15000<96000$, то делаем вывод, что плот может переправить автомобиль и даже не  погрузится при переправе целиком в воду, то есть колеса не намокнут.

 

Задача 13. Теплоход, вес которого вместе с оборудованием составляет 20 МН, имеет объем подводной части при погружении до ватерлинии 6000 м$^3$. Как велика грузоподъемность теплохода?

---

 

Сразу вычислим силу Архимеда, так как знаем водоизмещение судна:

$$F_A= \rho_v g V=1000\cdot 10\cdot 6000=6\cdot10^7$$ Н.

Часть этой силы пойдет на компенсацию веса самого судна с оборудованием:

$F_A-P=6\cdot10^7-20\cdot10^6=4\cdot10^7=40\cdot10^6$, или 40 МН – такого веса груз можно нагрузить на теплоход.

 

Задача 14. В сообщающиеся сосуды диаметром $d$ каждый налита жидкость плотностью $\rho$. В один сосуд опустили тело массой $m$, которое стало плавать в жидкости. Как и на сколько изменится уровень жидкости в сосудах?

---

 

Так как тело плавает, то заключаем, что сила Архимеда достаточна, чтобы скомпенсировать вес тела. Тогда запишем это формулой:

$$F_A=P$$

$$\rho g V=mg$$

$$V=\frac{m}{\rho}$$

Так как сосудов два, и по закону уровень воды в них одинаков, то, если общий объем воды увеличивается на $V$ благодаря телу, то в каждом сосуде он поднимется на $\frac{V}{2}$.

Высота подъема воды равна $h=\frac{0,5V}{S}=\frac{0,5V}{\frac{\pi d^2}{4}}=\frac{2V}{\pi d^2}$

Или $h=\frac{2m}{\rho \pi d^2}$