Шарики отскакивают: разные ситуации

Задача 1.

В полый пластмассовый шарик массой $m=50$ г, неподвижно висящий на легкой нерастяжимой нити, попадает пуля массой $m_p=5$ г, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_1=200$ м/с, пробивает его насквозь и продолжает горизонтальный полет со скоростью $\upsilon_2=130$ м/с. Какова длина нити, если шар совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Каковы потери механической энергии системы «шар-пуля» из-за деформации шара?

Решение: составим закон сохранения импульса

$$m_p\upsilon_1=m\upsilon+m_p\upsilon_2$$

$$m_p\upsilon_1- m_p\upsilon_2= m\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{ m_p }{m}(\upsilon_1-\upsilon_2)=7$$

Если шар (на нити!) забрался в верхнюю точку траектории, значит, $a_n=g$ (так как на нить невозможно опереться, это не стержень, значит, у шарика должна быть скорость $\upsilon_v$, обеспечивающая силу натяжения нити).

$$\frac{\upsilon_v^2}{l}=g$$

Запишем кинетическую энергию в самой верхней точке траектории:

$$\frac{m\upsilon_v^2}{2}=\frac{mgl}{2}$$

Составляем ЗСЭ для шарика от момента пробития пулей до взлета на самый верх:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mg\cdot 2l+\frac{mgl}{2}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=2,5mgl$$

Получаем, что

$$l=\frac{\upsilon^2}{5g}=\frac{49}{50}=0,98$$

Составляем ЗСЭ для системы шар-пуля:

$$\frac{m_p\upsilon_1^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m_p\upsilon_2^2}{2}+Q$$

$$m_p\upsilon_1^2=m\upsilon^2+m_p\upsilon_2^2+2Q$$

$$2Q= m_p(\upsilon_1^2-\upsilon_2^2)- m\upsilon^2$$

$$2Q=0,005(200^2-130^2)-0,05\cdot 49=113,05$$

$$Q=56,525$$

Задача 2.

К потолку комнаты прикреплен конец невесомой нерастяжимой нити длиной $L=4$ м. На другом конце нити закреплен маленький шарик. Расстояние от потолка до пола равно $0,5L$ Слегка натянув нить, шарик отклонили так, чтобы нить приняла горизонтальное положение, а затем отпустили без толчка. В процессе движения шарик совершает с полом абсолютно упругие соударения. Пренебрегая влиянием воздуха, определите расстояние между точками первого и третьего соударений шарика с полом.

Рисунок к задаче 2

Решение. Составим ЗСЭ и узнаем скорость при ударе:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$

$$\frac{\upsilon^2}{2}=g\cdot 0,5L$$

$$\upsilon=\sqrt{gL}$$

Скорость направлена при отскоке под углом $60^{\circ}$ - из рисунка. Дальность полета при таком угле равна

$$x=\frac{\upsilon^2\sin 2\alpha}{g}=\frac{gL\sin 2\alpha }{g}=L\sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$$

Понятно, что при втором прыжке мяч снова продвинется на такое же расстояние (удар упругий). То есть между первым и третьим ударами расстояние

$$L\sqrt{3}=4\sqrt{3}=6,93$$

Ответ: 6,93 м

Задача 3.

Шар массы $m = 0,25$ кг и объёма $V = 1,0$ дм$^3$ падает в воду с высоты $H = 2$ м и погружается на глубину $h = 0,5$ м, а затем выскакивает из воды (плотность шара меньше плотности воды). Найдите высоту $h_1$, на которую поднимется шар, выскочив из воды, считая силу сопротивления воды постоянной. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Рисунок к задаче 3

Решение. За нулевой уровень потенциальной энергии примем глубину, на которую шар погрузился. Тогда полная потенциальная энергия шара равна работе силы Архимеда и работе силы сопротивления вместе (рассматриваем движение вниз):

$$mg(H+h)=\rho g V h+Fh$$

А при движении вверх

$$mg(h+h_1)= \rho g V h-Fh$$

 Складываем уравнения

$$ mg(h+h_1)+ mg(H+h)=2\rho g V h$$

Откуда

$$h_1=\frac{2\rho V h-mH-2mh}{m}=\frac{2000\cdot 10^{-3}\cdot 0,5-0,25\cdot 2-0,5\cdot 0,5}{0,25}=1$$

Ответ: выпрыгнет на высоту 1 м.