Подготовка в СУНЦ МГУ - сила Архимеда. Экзамен в 11 класс.

Для решения этих задач потребуется не только условие плавания, но и знание газовых законов. Задачи несложные, "изюминки" я в них не нашла.

Задача 1.

Однородное тело массой $m=1$ кг, утонувшее в жидкости плотностью $\rho_1=810$ кг/м$^3$, давит на дно с силой $F=1$ Н. Какая часть $\alpha$ этого тела погружена в воду, когда оно плавает на ее поверхности? Плотность воды равна $\rho_2=1000$ кг/м$^3$. В расчетах принять $g=10$ м/с$^2$.

Сила тяжести равна $mg=10$ Н. Таким образом, раз тело давит на дно с силой 1 Н, то сила Архимеда равна 9 Н (может быть, тело неправильной формы и жидкость попадает под него). Это позволяет найти объем тела, так как известно, что оно утонуло.

$$F_{A1}=\rho_1 \cdot g V$$

$$V=\frac{ F_{A1}}{\rho_1\cdot{g}}=\frac{9}{810\cdot{10}}=\frac{1}{900}$$

Теперь рассмотрим плавание тела в воде. Условие плавания:

$$mg=F_{A2}=\rho_2\cdot{g} V_{pogr}$$

$$ V_{pogr}=\frac{ mg }\rho_2\cdot{g}}=\frac{10}{1000 \cdot{10}}=0,001$$

Определим, какую часть объема составляет погруженная часть:

$$\frac{ V_{pogr}}{V}=\frac{900}{1000}=0,9$$

Ответ: 0,9

Задача 2.

Воздушный шар с эластичной оболочкой у поверхности земли при нормальном атмосферном давлении $p_0$ и температуре $T_0$ испытывает архимедову силу $F_0$.  Найдите действующую на него архимедову силу  $F_1$ на некоторой высоте $h$, где давление атмосферы $p_1$, а ее температура $T_1$. Газ из воздушного шара не вытекает. Давлением, обусловленным кривизной оболочки, пренебречь.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для шара у земли:

$$p_0V_0=\nu R T_0$$

Откуда определим $V_0$:

$$V_0=\frac{\nu R T_0}{p_0}$$

Тогда сила Архимеда у земли равна

$$F_{A0}=\rho_0 g V_0=\frac{\nu R T_0\rho_0 g}{p_0}$$

Если аналогично записать все выкладки для шара на высоте $h$, то получим

$$F_{A1}=\rho_1 g V_1=\frac{\nu R T_1\rho_1 g}{p_1}$$

То есть отношение  сил $F_{A1}$ и $F_{A0}$:

$$\frac{F_{A1}}{ F_{A0}} = \frac{p_0 }{\rho_0T_0} \cdot \frac{\rho_1 T_1}{p_1}$$

Оба отношения равны произведению $\nu R$, следовательно,

$$ F_{A1}= F_{A0}$$

Ответ: $ F_{A1}= F_{A0}$.

Задача 3.

Пузырек воздуха поднимается со дна водоема глубиной $H$. Пренебрегая давлением водяного пара и силами поверхностного натяжения, найдите зависимость объема $V$ пузырька от глубины $h$ его погружения, если его объем на дне равен $V_0$. Процесс всплытия пузырька считать изотермическим.

Так как процесс изотермический, то применим закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Давление внутри пузырька $p_1$ у дна

$$p_1=p_0+\rho g H$$

Давление внутри пузырька $p_2$ на глубине $h$

$$p_2=p_0+\rho g h$$

Тогда из закона Бойля-Мариотта

$$V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}=\frac{( p_0+\rho g H)V_1}{ p_0+\rho g h }$$

Ответ: $V_2=\frac{( p_0+\rho g H)V_1}{ p_0+\rho g h }$.

Задача 4.

На полу неподвижного лифта стоит ведро с водой, в котором плавает кусок льда. Лифт начинает двигаться вверх с ускорением $a=0,2g$. Утонет ли льдина, если плотность льда $\rho=0,9$ г/см$^3$.  Ответ обосновать.

Вес льдины в ускоряющемся лифте равен:

$$P=m(g+a)$$

А Архимедова сила

$$F_A=\rho (g+a) V$$

То есть сила Архимеда увеличивается во столько же раз, во сколько и вес, следовательно, льдина не погрузится глубже, чем до начала движения лифта. А до начала движения льдина не тонет по причине того, что плотность льда меньше, чем у воды.