Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда-1

В этой статье продолжаем решать задачи  из экзамена в СУНЦ МГУ на тему «Сила Архимеда».  Начало здесь.

Задача 1.

Один конец нити закреплен на дне водоема, а второй прикреплен к поплавку массой  1 кг, при этом 90% объема поплавка погружено в воду. Найдите силу натяжения нити, если плотность материала поплавка в 4 раза меньше плотности воды. Так как погружено $0,9V$ поплавка, то силу Архимеда запишем как $$F_A=0,9V\rho g$$ Сила тяжести поплавка $F_t=mg$. Тогда, так как нить удерживает поплавок от всплытия, то, следовательно, сила Архимеда превышает силу тяжести, и мы можем записать $$T=F_A-F_t=0,9V\rho g- mg $$ По условию, плотность поплавка в 4 раза меньше плотности воды, поэтому $$ T=0,9V4\rho_p g-mg = 3,6\rho_p g V-mg=(3,6-1)mg =2,6\cdot10\cdot1=26$$ Ответ: 26 Н.

Задача 2.

Шарик массы $m$ всплывает в вязкой жидкости с постоянной скоростью. Плотность материала шарика в $n$ раз меньше плотности жидкости. Чему равна сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости? Запишем для силы сопротивления жидкости: $$F_c=F_A-mg$$ $$ F_c=\rho g V –mg=\rho g V -\rho_{sh} g V= g V(\rho-\rho_{sh}) $$ Где $\rho_{sh}$ - плотность шарика, $\rho$ - плотность жидкости. Тогда $$\rho_{sh}=\frac{\rho}{n}$$ А плотность жидкости $$\rho=\rho_{sh} n$$ $$ F_c= g V(n \rho_{sh}-\rho_{sh})= g V\rho_{sh} (n -1)=mg(n-1)$$ Ответ: $ F_c= mg(n-1)$.

Задача 3.

В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом $R$ налита вода. На какую величину повысится ее уровень, если в сосуд поместить деревянный брусок массой $M$? Условие плавания $$F_A=F_t$$ $$ \rho g V_p =mg$$ $$ \rho g V_p =\rho_d Vg$$ Где $ \rho$ - плотность жидкости, $ \rho_d$ - плотность бруска, $V_p$ - погруженный объем бруска, $V$ - полный объем. «Вытащим» погруженный объем – именно столько воды вытеснит брусок. $$V_p=\frac{\rho_d V}{\rho}$$ Откуда  $h$ $$h=\frac{V_p}{S}=\frac{\rho_d V}{\pi R^2\rho}=\frac{M}{\pi R^2\rho}$$ Ответ: $h=\frac{M}{\pi R^2\rho}$.

Задача 4.

Однородное тело подвешено к динамометру. Определите плотность вещества, из которого сделано тело, если при его полном погружении в воду показания динамометра уменьшились в $n$ раз. В первый раз на пружину динамометра действует полная сила тяжести, а во второй – сила тяжести, уменьшенная на величину силы Архимеда. $$F_1=mg$$ $$F_2=mg-F_A=\frac{F_1}{n}$$ Тогда $$F_1-F_A=\frac{F_1}{n}$$ $$F_A=F_1-\frac{F_1}{n}=F_1(1-\frac{1}{n})= mg(1-\frac{1}{n})$$ Сила Архимеда, в свою очередь, равна $$F_A=\rho_0 g V$$ Тогда $$\rho_0 g V= mg(1-\frac{1}{n})$$ $$\rho_0 V= m(1-\frac{1}{n})$$ $$\rho_0 V= \rho V\frac{n-1}{n}$$ Откуда плотность тела равна $$\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$$ Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$.

Задача 5.

Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом $V=10$ см$^3$ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду, а масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего. Для первого шарика справедливо уравнение: $$F_{A1}=mg+T$$ А для второго $$F_{A2}+T=3mg$$ $$ F_{A1}=\rho g \frac{V}{2}$$ $$ F_{A2}=\rho g V$$

Имеем систему:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} F_{A1}=mg+T \\ F_{A2} =3mg -T \end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} \rho g \frac{V}{2}=mg+T\\ \rho g V =3mg -T \end{matrix}$$

Сложим уравнения: $$ \rho g \frac{3V}{2}=4mg$$ $$ \rho  \frac{3V}{2}=4m$$ $$m=\frac{3\rho V}{8}$$ Теперь можно посчитать силу натяжения нити $$T= \rho g \frac{V}{2}-mg=\frac{\rho g V}{2}-\frac{3\rho g V}{8}=\frac{\rho g V}{8}=\frac{10^4\cdot 10^{-5}}{8}=0,0125$$ Ответ: 0,0125 Н.

Задача 6.

Однородный алюминиевый цилиндр подвешен к динамометру, при этом пружина динамометра растянута на $x_1=32$ мм. После того, как цилиндр полностью опустили в воду, растяжение пружины динамометра уменьшилось до значения $x_2=20$ мм. По этим данным найдите плотность алюминия. Запишем уравнение для первого опыта: $$mg=k\Delta x_1$$ Для второго опыта $$mg-F_A=k\Delta x_2$$ Разделим уравнения друг на друга: $$\frac{ mg-F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$ $$1-\frac{ F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$ $$1-\frac{ \rho g V }{\rho_a V g}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$ $$\frac{ \rho}{\rho_a}=1-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$ $$\rho_a=\frac{\rho \Delta x_1}{\Delta x_1-\Delta x_2}$$ $$\rho_a=\frac{10^3\cdot32\cdot10^{-3}}{32\cdot10^{-3}-20\cdot10^{-3}}=2670$$ Ответ: $\rho_a=2670$ кг/м$^3$.

Задача 7.

Однородное тело, полностью находящееся внутри жидкости, удерживается от всплытия с помощью нити, прикрепленной ко дну сосуда. Сила натяжения нити составляет одну треть от силы тяжести тела.  Какая часть объема тела $\frac{V_1}{V}$ окажется на поверхности, если нить перерезать? Запишем уравнение по второму закону Ньютона: $$F_A=mg+T$$ По условию $T=\frac{mg}{3}$, тогда  $F_A=\frac{4mg}{3}$. Сила Архимеда равна (тело полностью погружено): $$F_A=\rho g V$$ То есть $$\rho g V=\frac{4mg}{3}$$ $$\rho  V=\frac{4m}{3}$$ $$V=\frac{4m}{3\rho}$$ Теперь нить обрезают и тело всплывает: $$F_{A1}=mg$$ $$\rho g V_1 =mg$$ $$V_1 =\frac{m}{\rho }$$ Определяем отношение объемов: $$\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$$ Ответ: $\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$