Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда

Эта статья продолжает серию по подготовке к поступлению в 10 класс СУНЦ МГУ. В ней вам предложены задачи экзаменов разных лет, объединенные темой "сила Архимеда".

Задача 1.

Доска длиной $L=3,5$ м и поперечным сечением $S=0,04$ м$^2$ плавает в воде. Какую наибольшую массу может иметь человек, чтобы доска не погрузилась полностью, когда он встанет на нее? Плотность дерева $\rho=500$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Чтобы доска не погрузилась, нужно, чтобы сила архимеда была бы больше или равна, чем сила тяжести, действующая на саму доску и человека, стоящего на ней. $$F_A \geqslant g(m_d+m_{ch})$$ Сила Архимеда зависит от объема, погруженного в жидкость: $$F_A=\rho g V=\rho g S L$$ Имеем неравенство: $$\rho g S L\geqslant g(m_d+m_{ch})$$ $$\rho S L\geqslant m_d+m_{ch}$$ $$m_{ch}\leqslant \rho S L- m_d$$ Масса доски равна $m_d=\rho_d V=\rho_d S L$. $$m_{ch}\leqslant \rho S L- \rho_d S L $$ $$m_{ch}\leqslant SL(\rho -\rho_d)$$ $$m_{ch}\leqslant 0,04\cdot3,5(1000 -500)=70$$ Ответ: масса человека должна быть не более 70 кг, в случае, если масса будет равна 70 кг доска погрузится полностью.

Задача 2.

Тело плотностью $\rho=0,8\cdot10^3$ кг/м$^3$ плавает в жидкости плотностью $\rho_g=1,2\cdot10^3$ кг/м$^3$. Во сколько раз объем погруженной части тела больше объема выступающей части? Запишем условие плавания: $$F_A=mg$$ $$\rho g V_p=mg$$ $$\rho  V_p=\rho_t V$$ Тогда отношение объема погруженной части $V_p$ к полному объему тела $V$ равно: $$\frac{V_p}{V}=\frac{\rho_t }{\rho}=\frac{0,8}{1,2}=\frac{2}{3}$$ Следовательно, если погружено $\frac{2}{3}$ объема, то выступает $\frac{1}{3}$, и объем погруженной части вдвое больше, чем выступающей. Ответ: в 2 раза.

Задача 3.

Льдина плавает в воде, при этом объем ее надводной части $V=2,5$ м$^3$. Определите массу льдины. Плотность льда $\rho_l=900$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Запишем условие плавания: $$F_A=mg$$ $$\rho g V_p=mg$$ $$\rho  V_p=\rho_t V$$ Тогда отношение объема погруженной части $V_p$ к полному объему льдины $V$ равно: $$\frac{V_p}{V}=\frac{\rho_t }{\rho}=\frac{900}{1000}=\frac{9}{10}$$ Следовательно, если погружено 0,9 объема, то выступает 0,1, а это 2,5 м$^3$, и объем всей льдины тогда равен 25 м$^3$, а масса такого объема льдины равна $$m_L=\rho_L \cdot V=900\cdot 25=22500$$ Ответ: 22,5 тонны.

Задача 4.

В плавающую в воде открытую консервную банку медленно наливают воду. Банка начинает тонуть, когда масса налитой воды равна $m=200$ г. Найдите массу банки, если площадь дна банки равна $S=35$ см$^2$, а высота $H=8$ см. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Запишем условие плавания: $$F_A=mg$$ $$\rho g V_p=(m_b+m_v)g$$ $$\rho  V_p= m_b+m_v $$ Объем воды массой 200 г составляет 200 мл, при имеющихся геометрических размерах объем банки будет равен: $$V=Sh=35\cdot8=280$$ То есть когда из 280 мл объема банки 200 опустятся ниже уровня воды, банка начинает тонуть, или сила Архимеда и вес равны. Откуда следует вывод, что масса банки 80 г. Ответ: 80 г.

Задача 5.

Определите наименьшую толщину плоской однородной льдины, способной удержать на своей поверхности человека массой $m=70$ кг, если ее площадь $S=3$ м$^2$. Плотность льда $\rho_l=900$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Запишем условие плавания: $$F_A=mg$$ $$\rho_0 g V_p=(m_L+m)g$$ $$\rho_0  V_p= m_L+m $$ В предельном случае льдина погрузится так, что ее верхняя поверхность совпадет с уровнем воды, поэтому $$V_p=Sh$$ $$\rho_0 Sh = Sh\rho_l+m $$ $$\rho_0 Sh - Sh\rho_l=m $$ $$Sh(\rho_0  - \rho_l)=m$$ $$h=\frac{m}{S(\rho_0  - \rho_l)}=\frac{70}{3(1000-900)}=0,23$$ Ответ: 23 см  

Задача 6.

Масса пробкового спасательного круга равна $m=4,8$ кг. Какова подъемная сила этого круга в пресной воде? Плотность пробки $\rho_{pr}=0,24$ г/см$^3$, плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Если круг погрузится весь, то сила Архимеда, выталкивающая его, будет равна $$F_A=\rho g V$$ Но часть этой силы пойдет на поддержание на плаву самого круга, а оставшаяся часть – на поддержание тонущего: $$F=F_A-mg=\rho g V-mg=\rho g \frac{m}{\rho_{pr}}-mg=mg(\frac{\rho}{\rho_{pr}}-1)= 48(\frac{1000}{240}-1)=152$$ Ответ: 152 Н

Задача 7.

Радиозонд объемом  $V=10$ м$^3$ наполнен водородом. Какой массы радиоаппаратуру  он может поднять, если масса его оболочки равна $m=600$ г? Плотность водорода $\rho_v=0,09$ кг/м$^3$, плотность воздуха $\rho_0=1,29$ кг/м$^3$. Подъемная сила равна разности силы Архимеда и силы тяжести: $$F=F_A-mg=F_A-g(m+m_{H})=\rho_0 g V-g(m+\rho_vV)$$ $$m_ag=\rho_0 g V-g(m+\rho_vV)$$ $$m_a=\rho_0  V-m-\rho_vV=1,29\cdot10-0,6-0,09\cdot10=11,4$$ Ответ: 11,4 кг.