Изменение уровня жидкости: задачи Сириуса - 2

Задача 1.

В цилиндрическом сосуде с водой плавает тело массой $m=40$ г, привязанное нитью ко дну сосуда. При этом тело погружено в воду на три четвёртых своего объёма. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Если перерезать нить, то тело всплывёт и будет плавать погружённым в воду на треть. Определите изменение высоты уровня воды $\Delta h=h2−h1$, где $h_1$ и $h_2$ —начальная и конечная высота уровней воды соответственно.  Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Плотность воды $\rho=1$ г/см$^3$.

Решение. Для второго состояния условие плавания:

$$mg=\frac{1}{3}\rho_0 g V$$

Из этого равенства очевидно, что

$$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{1}{3}$$

Здесь $\rho_0$ - плотность воды, $\rho$ - плотность тела.

Можно найти объем тела:

$$V=\frac{m}{\rho}$$

Погруженный объем изменился следующим образом:

$$\Delta V=\frac{3}{4}V-\frac{1}{3}V=\frac{5}{12}V$$

$$\Delta V=\frac{5}{12}\cdot \frac{m}{\rho}=\frac{5}{12}\cdot \frac{0,04\cdot 3}{1000}=50\cdot 10^{-6}$$

Таким образом, объем тела 120 см$^3$. Сначала было погружено 90 см$^3$, потом – 40 см$^3$. То есть погруженный объем изменился на 50 см$^3$ (уменьшился). Слой жидкости понизится на 1 см.

Ответ: -1 см.

 

Задача 2.

В сосуд с вертикальными стенками с площадью поперечного сечения $S=20$ см$^2$ налита вода. Тело удерживается в воде погружённым на две трети своего объёма при помощи двух нерастяжимых вертикальных нитей. Верхняя нить натянута с силой $T_1=5$ Н, нижняя с силой $T_2=6,5$ Н. Нижнюю нить перерезают. Определите изменение высоты уровня воды $\Delta h=h2−h1$, где $h_1$ и $h_2$ —начальная и конечная высота уровней воды соответственно. Плотность воды $\rho=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$. Определите изменение высоты уровня воды $\Delta h$, если вместо нижней перерезать верхнюю нить. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Рисунок ко второй задаче взят из курса Сириуса

Решение. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для нашего тела:

$$mg+T_2-F_A-T_1=0$$

Если нижнюю нить перерезать, тело будет плавать и уравнение изменится:

$$mg=F_{A1}$$

«Раскроем» силу Архимеда  в обоих случаях. В первом:

$$ F_A= mg+T_2-T_1$$

$$\rho_0 gV_{pogr1}=mg+T_2-T_1$$

$$\rho_0 gV_{pogr1}=mg+1,5$$

Во втором:

$$\rho_0 gV_{pogr2}=mg$$

Если уравнения вычесть, получим:

$$\rho_0 g (V_{pogr1}-V_{pogr2})=1,5$$

Или

$$V_{pogr1}-V_{pogr2}=1,5\cdot 10^{-4}$$

Итак, разность погруженных объемов – 150 см$^3$. Так как погруженный объем меняется в меньшую сторону, то уровень жидкости опускается на

$$\Delta h=-\frac{ V_{pogr1}-V_{pogr2}}{S}=-7,5$$

Ответ: $\Delta h=-7,5$ см

Если перерезать верхнюю нить, то нижняя останется натянутой и погруженный объем не изменится. Поэтому изменение уровня воды в этом случае – ноль.

 

Задача 3.

На дне сосуда с вертикальными стенками, частично заполненного водой, находится деревянный брусок массой 60 г в форме прямоугольного параллелепипеда. Он давит на дно с силой 0,3 Н. Площадь дна сосуда 60 см$^2$. Площадь основания бруска 20 см$^2$. Плотность бруска 0,5 г/см$^3$, плотность воды 1 г/см$^3$. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$. На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если долить в него 180 мл воды? Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение. Опять начнем со второго закона Ньютона:

$$mg-F_A=N$$

$$F_A=mg-N=\rho_0 g V_1$$

$$V_1=\frac{ mg-N }{\rho_0 g }=\frac{0,3}{10^4}=30\cdot 10^{-6}$$

Итак, погруженный объем – 30 см$^3$. То есть брусок погружен на 1,5 см по высоте. Определим объем бруска:

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{60}{0,5}=120$$

Так как погруженный объем вчетверо меньше полного объема – то высота бруска 6 см.

Теперь определим, каков будет погруженный объем при всплытии бруска:

$$mg=\rho_0 g V_2$$

$$V_2=60$$

Оказывается, если брусок плавает, он погружен на 3 см.

Доливаем воду – 180 см$^3$. Сначала вода будет наливаться в пространство между бруском и стенками сосуда. Нальем 1,5 см – значит, объем налитого

$$V_x=40\cdot 1,5=60$$

Далее брусок всплывает. Оставшиеся 120 см$^3$ поднимут слой воды в этом сосуде на 2 см. Получается, уровень поднимется на 3,5 см – на полтора до всплытия бруска и на 2 см после.

Ответ: 3,5 см.

Задача 4.

На дне сосуда с вертикальными стенками, частично заполненного водой, находится металлический брусок массой 640 г в форме прямоугольного параллелепипеда. Он давит на дно с силой 6 Н. Площадь дна сосуда 50 см$^2$. Площадь основания бруска 20 см$^2$. Плотность бруска 8 г/см$^3$, плотность воды 1 г/см$^3$. Ускорение свободного падения 10 м/с$^2$. На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если долить в него 45 мл воды? Теперь в сосуд наливают не 45 мл воды, а в два раза больший объём: 90 мл. На сколько поднимется уровень воды в сосуде? Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение. Определим объем бруска:

$$V_{br}=\frac{m_{br}}{\rho_{br}}=\frac{640}{8}=80$$

Определим теперь высоту бруска:

$$H_{br}=\frac{ V_{br}}{S_{br}}=\frac{80}{20}=4$$

Напишем уравнение по второму закону Ньютона, чтобы найти погруженный объем, а значит, и высоту погружения:

$$m_{br}g-F_A=N$$

$$ m_{br}g-\rho_0 gV_{pogr}=N$$

$$\rho_0 gV_{pogr}=m_{br}g-N$$

$$ V_{pogr}=\frac{ m_{br}g-N }{\rho_0 g }=\frac{6,4-6}{10^4}=40\cdot10^{-6}$$

Высота погружения:

$$ H_{pogr}=\frac{ V_{pogr}}{ S_{br}}=\frac{40}{20}=2$$

Теперь определим, каков будет погруженный объем при всплытии бруска:

$$m_{br}g=\rho_0 g V_{pogr2}$$

$$V_1=\frac{0,64}{10^3}=640\cdot10^{-6}$$

Оказывается, брусок не плавает (чтобы он плавал, надо погрузить 640 см$^3$, а его объем всего 80).

Доливаем воду – 45 см$^3$. Сначала вода будет наливаться в пространство между бруском и стенками сосуда. Нальем 1,5 см – значит, объем налитого

$$V_x=(50-20)\cdot 1,5=45$$

Уровень и поднимется на 1,5 см.

Теперь, если долить еще 45 см$^3$, то сначала вода будет наливаться в пространство между бруском и стенками сосуда – пока не уйдут под воду оставшиеся 0,5 см бруска. Это потребует объем воды

$$V_y=(50-20)\cdot 0,5=15$$

Оставшиеся 30 см$^3$ будут наливаться уже поверх бруска и разольются по всей площади сосуда, образовав слой 0,6 см. Таким образом, налив 90 см$^3$ воды, мы полностью покроем брусок, подняв уровень на 2 см и потом еще 0,6 см поверх – всего 2,6 см.

Ответ: 2,6 см.