Изменение уровня жидкости: задачи Сириуса - 1

Задача 1.

В цилиндрический сосуд налита вода. В воду опустили алюминиевую ложку массой 27 г так, что половина объёма ложки оказалась под водой. Определите, на сколько при этом повысился уровень воды в сосуде, если площадь дна сосуда 20 см$^2$. Ответ дайте в миллиметрах, округлив до десятых. Плотность воды 1 г/см$^3$, плотность алюминия 2,7 г/см$^3$.

Решение. Найдем объем ложки:

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{27}{2,7}=10$$

Погружено, стало быть, 5 см$^3$. Вытеснено также 5 см$^3$. Этот объем распределится по поверхности жидкости слоем толщиной

$$h=\frac{V}{2S}=\frac{5\cdot10^{-6}}{20\cdot10^{-4}}=0,0025$$

Ответ: 2,5 мм

Задача 2.

В цилиндрический сосуд налита вода. В воду опустили сосновую щепку объёмом 8 см$^3$ так, что она плавает, не касаясь дна. Определите, на сколько при этом повысился уровень воды в сосуде, если площадь дна сосуда 20 см$^2$. Ответ дайте в миллиметрах, округлив до десятых. Плотность воды 1 г/см$^3$, плотность сосны 0,5 г/см$^3$.

Решение: Так как плотность сосны вдвое меньше плотности воды, то погруженной окажется половина объема – 4 см$^3$. Вытеснено также 4 см$^3$. Этот объем распределится по поверхности жидкости слоем толщиной

$$h=\frac{V}{2S}=\frac{4\cdot10^{-6}}{20\cdot10^{-4}}=0,002$$

Ответ: 2 мм

Задача 3.

В цилиндрический сосуд с площадью дна 50 см$^2$ налита вода. В воде плавает тело массой 45 г и плотностью 0,9 г/см$^3$. Поверх воды наливают керосин так, что слой керосина полностью закрывает тело. Плотность воды 1 г/см$^3$, плотность керосина 0,8 г/см$^3$. Определите изменение высоты уровня воды $\Delta h=h2−h1$, где $h_1$ и $h_2$ —начальная и конечная высота уровней воды соответственно. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение. Найдем объем тела в см$^3$:

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{45}{0,9}=50$$

$\rho$ - плотность тела.

Найдем погруженный объем:

$$mg=\rho_0 g V_{pogr}$$

$\rho_0$ - плотность воды.

$$ V_{pogr}=\frac{m}{\rho_0}=45\cdot 10^{-6}$$

Погружено 45 см$^3$.

Теперь нальем керосин. Тогда условие плавания:

$$mg=\rho_k g V_1+\rho_0 g V_2$$

$\rho_k$ - плотность керосина, $V_1$ - объем, погруженный в керосин, $V_2$ - объем, погруженный в воду. Кстати,

$$V_1+V_2=V$$

Подставим:

$$mg=\rho_k g (V-V_2)+\rho_0 g V_2$$

$$m=\rho_k  (V-V_2)+\rho_0 V_2$$

$$0,045=800\cdot 50\cdot 10^{-6}+V_2(1000-800)$$

$$0,005=200V_2$$

$$V_2=25\cdot10^{-6}$$

То есть в воду и в керосин погружены одинаковые объемы: $V_1=V_2=25$ см$^3$. То есть теперь в воду погружен меньший на 20 см$^3$ объем. Тогда уровень воды станет ниже, определим, на сколько:

$$\Delta h=h2−h1=\frac{ V_1-V_{pogr} }{S}=\frac{-20}{50}=-0,4$$

Ответ: $\Delta h=-0,4$ см.

Задача 4.

На дне цилиндрического сосуда, частично заполненного водой, лежит камень. Он давит на дно с силой $F_1=3$ Н. В сосуд доливают $V=100$ мл воды. При этом сила давления камня на дно становится равна $F_2=2$ Н. На сколько высота уровня воды в конце больше, чем в начале? Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Решение. Запишем два уравнения по второму закону Ньютона, для начального состояния и конечного:

$$mg-F_{A1}=N_1$$

$$mg-F_{A2}=N_2$$

Вычтем из первого второе:

$$F_{A2}- F_{A1}=N_1-N_2$$

$$\rho g(V_2-V_1)=N_1-N_2$$

$$V_2-V_1=\frac{1}{10^4}=100\cdot 10^{-6}$$

Камень стал вытеснять больше на 100 см$^3$, плюс еще же долили 100 см$^3$. Итого 200 см$^3$ «лишней» воды. Она по площади 50 см$^2$ разольется слоем 4 см.

Ответ: 4 см.