Изменение уровня жидкости при таянии льда: задачи Сириуса - 4

Задача 1.

Льдина висит на нити, при этом частично погружена в цилиндрический сосуд с водой. Сила натяжения нити $T=2$ Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Решение. Записываем уравнение по второму закону Ньютона:

$$m_l g-F_A=T$$

$$ m_l g-\rho_0 g V_{pogr}=T$$

$$\rho_0 g V_{pogr}= m_l g-T$$

Определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема льдинки $ V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}- V_{pogr}$$

$$\Delta h S= \frac{m_l}{\rho_0}-\frac{ m_l g-T }{\rho_0 g }=\frac{T}{\rho_0 g }=2\cdot 10^{-4}$$

$$\Delta h=\frac{2\cdot 10^{-4}}{50\cdot 10^{-4}}=0,04$$

Ответ: 4 см.

Задача 2.

Льдина, находящаяся в цилиндрическом сосуде с водой, прикреплена ко дну сосуда при помощи вертикальной нити. Сила натяжения нити $T=2$ Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Решение. Записываем уравнение по второму закону Ньютона:

$$m_l g+T= F_A $$

$$ m_l g+T=\rho_0 g V_{pogr}$$

$$ V_{pogr}= \frac{m_l g+T}{\rho_0 g }$$

Определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема льдинки $ V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}- V_{pogr}$$

$$\Delta h S= \frac{m_l}{\rho_0}-\frac{ m_l g+T }{\rho_0 g }=-\frac{T}{\rho_0 g }=2\cdot 10^{-4}$$

$$\Delta h=-\frac{2\cdot 10^{-4}}{50\cdot 10^{-4}}=-0,04$$

Ответ: -4 см.

Задача 3.

В цилиндрический сосуд с водой помещён камень, который удерживается двумя нитями, привязанными к плавающей льдине и ко дну сосуда. Силы натяжения нитей отличаются в 1,5 раза, и меньшая из них равна $T=2$ Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок к задаче 3

Решение. Определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема льдинки $ V_{pogr}$, и объема камня $V_k$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}+ V_k $$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$, и объема камня $V_k$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}+V_k$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}- V_{pogr}$$

Напишем уравнение равновесия для камня:

$$m_kg=T_1-T_2$$

Делаем вывод, что $T_1>T_2$, следовательно, $T_1=3$ Н.

Уравнение равновесия для льдинки:

$$m_lg+T_1=F_A=\rho_0 g V_{pogr}$$

$$ V_{pogr}=\frac{ m_lg+T_1}{\rho_0 g }$$

Возвращаемся к уравнению, дающему разность уровней:

$$\Delta h S= \frac{m_l}{\rho_0}-\frac{ m_l g+T_1 }{\rho_0 g }=-\frac{T_1}{\rho_0 g }=-3\cdot 10^{-4}$$

$$\Delta h=\frac{-3\cdot 10^{-4}}{50\cdot 10^{-4}}=-0,06$$

Ответ: - 6 см.

Задача 4.

Кубик льда с длиной ребра $a=7$ см с вмороженным в него деревянным шариком подвешен на нити и погружён в цилиндрический сосуд с водой. В воде находится пятая часть кубика. Сила натяжения нити $T=2$ Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Решение. Определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема кубика $ V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$, и объема дерева погруженного $V_d$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}+V_d$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}+V_d- V_{pogr} $$

Напишем уравнение равновесия для кубика:

$$(m_l+m_d)g=F_A+T$$

Мы знаем силу натяжения, мы знаем объем кубика и погруженный объем:

$$(m_l+m_d)g=\rho_0 g\frac{V}{5}+T=10^4\cdot \frac{0,07^3}{5}+2=2,686$$

Возвращаемся к уравнению, дающему разность уровней:

$$\Delta h S= \frac{m_l}{\rho_0}+\frac{ m_d }{\rho_0}-\frac{V}{5}=\frac{m_l+m_d}{\rho_0}-\frac{V}{5}$$

$$\Delta h S=0,2686\cdot10^{-3}-\frac{0,07^3}{5}=0,0002$$

$$\Delta h=\frac{0,0002}{50\cdot 10^{-4}}=0,04$$

Ответ: 4 см.