Изменение уровня жидкости при таянии льда: задачи Сириуса - 3

Задача 1.

В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка, в которую вморожен медный кубик массой 27 г. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как льдинка растаяла. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда 20 см$^2$, плотность воды 1 г/см$^3$, плотность меди 9 г/см$^3$.

Решение. Льдинка плавает, запишем условие плавания:

$$(m_{tal}+m_k)g=\rho_0 g V_{pogr}$$

$$m_{tal}+m_k=\rho_0  V_{pogr}$$

$$ V_{pogr}=\frac{ m_{tal}+m_k }{\rho_0}$$

Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного объема льдинки $V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает, кубик тонет и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$,  объема талой воды $V_{tal}$ и объема меди $V_k$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}+V_k$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}+V_k- V_{pogr}$$

$$\Delta h S=\frac{ m_{tal}}{\rho_0}+\frac{m_k}{\rho}-\frac{ m_{tal}}{\rho_0}-\frac{ m_k}{\rho_0}$$

$$\Delta h S=\frac{m_k}{\rho}-\frac{ m_k}{\rho_0}$$

$$\Delta h S=\frac{27}{9}-\frac{ 27}{1}=-24$$

$$\Delta h=-\frac{24}{20}=-1,2$$

Ответ: -1,2 см

 

Задача 2.

Кусок льда, полученный из пресной воды, плавает в цилиндрическом сосуде с солёной водой. Плотность пресной воды $\rho_0=1000$ кг/м$^3$, плотность солёной воды $\rho=1030$ кг/м$^3$. Площадь дна сосуда 10 см$^2$. Определите массу льда, если после того, как он растаял, уровень всей воды в сосуде поднялся на 0,3 мм. Ответ дайте в граммах, округлив до десятых.

Решение. Льдинка плавает, запишем условие плавания:

$$m_l g=\rho g V_{pogr}$$

$$ m_l =\rho  V_{pogr}$$

$$ V_{pogr}=\frac{m_l }{\rho}$$

Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного объема льдинки $V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}- V_{pogr}$$

$$\Delta h S=\frac{ m_l}{\rho_0}-\frac{ m_l}{\rho}$$

$$3\cdot 10^{-4}\cdot 10\cdot 10^{-4}=\frac{ m_l}{1000}-\frac{ m_l}{1030}$$

Откуда

$$m_l=0,01029$$

Ответ: 10,3 г

 

Задача 3.

В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна 50 см$^2$ налиты керосин и вода. Льдинка массой 90 г плавает на границе раздела керосина и воды, полностью погружённая в жидкости. Плотность керосина 0,8 г/см$^3$, плотность воды 1 г/см$^3$, плотность льда 0,9 г/см$^3$. Определите изменение уровня воды после того, как лёд растает. Определите изменение уровня жидкого содержимого сосуда. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение. Записываем условие плавания:

$$mg=\rho_k g V_1+\rho_0 g V_2$$

Здесь $\rho_k$ - плотность керосина, $\rho_0$ - плотность воды, $V_1$ - объем, погруженный в керосин, $V_2$ - объем, погруженный в воду.

$$m=\rho_k  V_1+\rho_0  V_2$$

Объем льда $V=100$ см$^3$ - это совсем нетрудно определить. Кроме того,

$$V=V_1+V_2$$

$$m=\rho_k  V_1+\rho_0  (V-V_1)$$

$$0,09=800V_1+1000\cdot 100\cdot 10^{-6}-1000V_1$$

$$200V_1=0,01$$

$$V_1=5\cdot 10^{-5}$$

$$V_2=5\cdot 10^{-5}$$

Объемы, погруженные в воду и в керосин одинаковы! Это, не забудем, объем льда. Соответствующий ему объем воды будет меньше – плотности-то отличаются. Нетрудно убедиться, что объем воды будет 45 см$^3$:

$$m=\rho_l V_1$$

$$V_v=\frac{m}{\rho_0}=45$$

Теперь определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема льдинки $V_2$:

$$h_1S= V_0+ V_2$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $2V_v$:

$$h_2S= V_0+ 2V_v$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= 2V_v- V_2$$

$$\Delta h S=2\cdot 45-50=40$$

$$\Delta h=\frac{40}{50}=0,8$$

Увеличение уровня воды составило 0,8 см. А объем керосина стал на 50 см$^3$ меньше, ведь часть льда, погруженная в него, освободила 50 см$^3$! Поэтому уровень керосина снизится на 1 см. В итоге общий уровень станет ниже на 0,2 см.

Ответ: $\Delta h=0,8$ см, $\Delta h_{poln}=-0,2$ см.

Задача 4.

Кусок льда лежит на дне сосуда с водой (погружен не полностью) и давит на дно с силой $F=2,5$ Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда $S=50$ см$^2$. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Решение. Определяем изменение уровня воды. Сначала объем содержимого равен, с одной стороны, $h_1S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$, и погруженного в нее объема льдинки $ V_{pogr}$:

$$h_1S= V_0+ V_{pogr}$$

Затем лед тает  и объем содержимого равен, с одной стороны, $h_2S$, а с другой  - это сумма объема воды изначального $V_0$ и объема талой воды $V_{tal}$:

$$h_2S= V_0+ V_{tal}$$

Вычитаем уравнения:

$$h_2S-h_1S= V_{tal}- V_{pogr}$$

Запишем условие равновесия льда:

$$mg-F_A=F$$

$$mg-\rho_0 g V_{pogr}=F$$

$$m-\rho_0  V_{pogr}=\frac{F}{g}$$

$$\frac{m}{\rho_0}- V_{pogr}=\frac{F}{g \rho_0}$$

$$V_{tal}- V_{pogr}=\frac{F}{g \rho_0}$$

Подставляем и определяем изменение уровня жидкости:

$$\Delta h S= \frac{F}{g \rho_0}=\frac{2,5}{10\cdot 10^3}=2,5\cdot 10^{-4}$$

$$\Delta h=\frac{2,5\cdot 10^{-4}}{50\cdot 10^{-4}}=0,05$$

Ответ: 5 см.