Гидростатика: задачи ненулевого уровня.

В этой статье собраны задачи по гидростатике из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» - тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от  8 класса. 

Задача 1.

Сосуд без дна, имеющий форму и размеры, указанные на рисунке, стоит на гладком столе. Масса сосуда равна $m$. В сосуд наливают жидкость. После того, как уровень достигает высоты $h$, сосуд приподнимается под действием жидкости. Найти плотность жидкости.

Рисунок 1

Сосуд начнет приподниматься, когда сила давления воды снизу и сила тяжести сравняются. $$mg=\rho g h S$$ $$ m=\rho h\pi (R^2-r^2)$$ $$\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$$ Ответ: $\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$

Задача 2.

В жидкость опущена тонкостенная трубка диаметром $d$, к которой прилегает цилиндрический диск диаметром $D$ и толщиной $h$. Плотность диска $\rho_D$ больше плотности жидкости $\rho_0$. На какой глубине $H$ диск оторвется, если трубку медленно вытаскивать из жидкости?

Рисунок 2

Рассмотрим диск. На него давит вода и снизу, и сверху. Поэтому, когда сила давления воды снизу станет меньше суммы силы давления воды сверху и силы тяжести, диск оторвется. Сила давления воды снизу: $$F_n=p_n S=\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2$$ $$R=\frac{D}{2}$$ Сила давления воды сверху: $$F_v=p_v(S-S_t)=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)$$ $$r=\frac{d}{2}$$ Тогда условие равенства нулю равнодействующей: $$ F_n= F_v+mg$$ $$\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+mg$$ $$\rho_0\pi R^2  h+\rho_0 \pi R^2 H =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+m$$ $$\rho_0\pi R^2  h -m =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)- \rho_0 \pi R^2 H= -\rho_0 H\pi r^2 $$ $$m-\rho_0\pi R^2  h=\rho_0 H\pi r^2 $$

$$H=\frac{ m-\rho_0 \pi R^2  h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D \pi R^2 h-\rho_0\pi R^2  h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D R^2 h-\rho_0 R^2  h }{\rho_0 r^2 }=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0  d^2 }$$

Ответ: $H=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0  d^2 }$  

Задача 3. 

Шар массой $m$, привязанный ко дну невесомой нитью, плавает на поверхности воды и погружен в нее наполовину. Сила натяжения нити равна $T$. Найти плотность материала шара. Плотность воды считать известной.

Рисунок 3

Запишем условие равновесия шара: $$mg+T=F_A$$ $$\rho V g+T=\rho_0 g \frac{V}{2}$$ $$\rho=\frac{\rho_0 g \frac{V}{2}}{Vg}- \frac{T}{V g}=\frac{\rho_0}{2}-\frac{T}{V g} $$ $$\rho=\frac{\rho_0}{2}-\frac{T \rho}{m g} $$ $$\rho \left(1+\frac{T}{mg }\right)=\frac{\rho_0 }{2}$$ $$\rho=\frac{\rho_0 m g }{2(mg+T)}$$ Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 m g }{2(mg+T)}$

Задача 4.

Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,5 всего объема тела. Определить долю погруженной части от полного объема тела, когда тело переместят в воду. Плотность керосина принять равной 800 кг/м$^3$. Запишем условие плавания в керосине: $$F_{Ak}=mg$$ $$\rho_k \frac{V}{2}=\rho V$$ $$\rho=\frac{\rho_k }{2}$$ Мы нашли плотность тела, теперь перемещаем его в воду. Записываем условие плавания: $$mg=F_{A0}$$ $$\rho V=\rho_0 V_0$$ Где $V_0$ - объем погруженной в воду части. $$V_0=\frac{\rho V }{\rho_0}$$ Подставим ранее найденную плотность $$V_0=\frac{ V }{\rho_0}\cdot \frac{\rho_k }{2}=\frac{800V}{2000}=0,4V$$ Ответ: $V_0=0,4V$.

Задача 5.

Шар массой $m$ наполовину погружен в воду и давит на дно с силой $F$. Найти плотность материала шара. Плотность воды дана.

Рисунок 4

Сила давления шара на дно равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

$$F=mg-F_A$$ $$mg=F+F_A=F+\rho_0 g \frac{V}{2}$$ $$\rho V g -\rho_0 g \frac{V}{2}=F $$

$$V=\frac{F}{\rho g - \frac{\rho_0 g }{2}}$$

$$\rho=\frac{m}{V }=\frac{mg\left(\rho-\frac{\rho_0}{2}\right)}{F}$$

$$\rho(\frac{mg}{F}-1)=\frac{\rho_0 mg}{2F}$$ $$\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)} $$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)} $

Задача 6.

Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 8 см$^3$, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды известна, принять $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок 5

Пусть $m$ - верхний шарик, тогда $3m$ - нижний. Записываем условия равновесия шариков: $$mg+T=F_{A1}$$ $$3mg-T=F_{A2}$$ Если уравнения сложить, получим $$4mg= F_{A1}+ F_{A2}=\rho g\left(V+\frac{V}{2}\right)=1,5\rho g V$$ $$m=\frac{1,5\rho V}{4}=\frac{1,5\cdot 1000\cdot8\cdot10^{-6}}{4}=0,003$$ Теперь можно найти силу натяжения нити: $$T=3mg- F_{A2}=3\cdot0,003\cdot10-1000\cdot10\cdot8\cdot10^{-6}=0,09-0,08=0,01$$ Ответ: 0,01 Н.