Газовые законы и гидростатика. Подготовка к олимпиадам, 10 класс.

Готовимся к олимпиадам. Здесь задачи, ориентированные на 10 класс, основные законы МКТ и гидростатики.

Задача 1.

В горизонтальной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути длиной $d=15$ см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и нагрели на $\Delta T=60$ К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы в лаборатории $p_0=750$ мм рт. ст. Какова температура воздуха в лаборатории? Ответ выразить в К, округлив до сотен.

Решение.

Из второго закона Ньютона, записанного для столбика ртути, получается, что давление воздуха в вертикальной трубке

$$p=p_0+\rho\cdot g\cdot d,$$

где $p_0=\rho\cdot g\cdot H$ — давление атмосферы, $\rho$ — плотность ртути, а $H=750$ мм (давление, выраженное в мм рт. ст., удобно записывать таким образом).

Поскольку нагревание воздуха в трубке происходит до температуры $T$ и первоначального объема, то по закону Менделеева-Клапейрона

$$T=T_0+\Delta T.$$

$$\frac{T}{T_0}=\frac{p}{p_0}=1+\frac{d}{H}.$$

Отсюда простыми алгебраическими преобразованиями получается, что

$$T_0=\Delta T\cdot \frac{H}{d}=300.$$

Ответ: 300 К.

Задача 2.

С какой глубины всплывал пузырек воздуха, если за время всплытия его объем увеличился в $k=3$ раза? Считать, что во время всплытия $T=const,$ плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3,$ атмосферное давление $p_0=100$ кПа, ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2.$ Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Так как масса воздуха в пузырьке и температура постоянные, то справедливо уравнение Бойля-Мариотта, из которого

$$p\cdot V=p_0\cdot k\cdot V,$$

где $p=\rho \cdot g\cdot h+p_0$ — давление на глубине. Отсюда получается, что

$$h=\frac{(k-1)\cdot p_0}{\rho \cdot g}=20.$$

Ответ: 20 м.

Задача 3.

Воздух охлаждали в сосуде постоянного объема. При этом температура воздуха в сосуде снизилась в $k=4$ раза, а его давление уменьшилось в $n=2$ раза. Оказалось, что кран у сосуда был закрыт плохо, и через него просачивался воздух. Чему равно отношение конечной массы воздуха к начальной?

Решение.

Запишем уравнения состояния для газа в начальном и конечном состояниях. В начальный момент времени воздух в стеклянном сосуде по закону Менделеева-Клапейрона удовлетворял следующему уравнению состояния:

$$p_0\cdot V=\nu_0\cdot R\cdot T_0.$$

В конечный момент — другому уравнению:

$$p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T.$$

При этом, согласно условию

$$T=\frac{T_0}{k},$$

$$p=\frac{p_0}{m}.$$

Таким образом,

$$\frac{\nu}{\nu_0}=\frac{k}{n},$$

а значит и отношение масс газов такое же. Следовательно, масса воздуха в сосуде увеличилась в

$$\frac{k}{n}=2.$$

Ответ: 2.

Задача 4.

Сферическую оболочку воздушного шара наполняют гелием при атмосферном давлении $p=10^5$ Па. Минимальная масса оболочки, при которой шар начинает поднимать сам себя, равна $m=500$ кг. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0^\circ C.$ Чему равна масса одного квадратного метра материала оболочки шара? (Площадь сферы $S=4\pi R^2,$ объем шара $V=\frac{4}{3}\pi R^3$). Ответ выразить в кг, округлив до сотых. Молярные массы воздуха и гелия равны $\mu_{_B}=29$ г/моль и $\mu_{_\Gamma}=4$ г/моль соответственно.

Решение.

Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: $F_A=m_{_\Gamma}\cdot g+m\cdot g, m_{_\Gamma}$ — масса гелия. Перепишем данное уравнение, выразив величины через радиус шара $r:$

$$\rho_{_B}\cdot g\cdot V=m\cdot g+m_{_\Gamma}\cdot g=b\cdot S\cdot g+\rho_{_\Gamma}\cdot g\cdot V $$

$$\Downarrow$$

$$\frac{4}{3}\pi r^3\cdot g\cdot\rho_{_B}=4\pi r^2\cdot g\cdot b+\frac{4}{3}\pi r^3\cdot g\cdot\rho_{_\Gamma},$$

откуда радиус шара

$$r=\frac{3b}{\rho_{_B}-\rho_{_\Gamma}},$$

где $b$ — отношение массы оболочки к ее площади.

Плотности гелия и воздуха можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$p=\frac{\rho}{\mu}\cdot R\cdot T$$

$$\Downarrow$$

$$\rho=\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}$$

$$\Downarrow$$

$$\rho_{_B}=\frac{p\cdot\mu_{_B}}{R\cdot T},$$

$$\rho_{_\Gamma}=\frac{p\cdot\mu_{_\Gamma}}{R\cdot T}.$$

Масса оболочки $m=4\pi r^2\cdot b=4\pi\left(\frac{3R\cdot T}{p\cdot (\mu_{_B}-\mu_{_\Gamma})}\right)^2\cdot b^3,$ откуда

$$b=\sqrt[3]{\frac{m}{4\pi}\cdot\left(\frac{p\cdot (\mu_{_B}-\mu_{_\Gamma})}{3R\cdot T}\right)^2}=1,75.$$

Ответ: 1,75 кг/м$^2.$

Задача 5.

Поршень вставлен в трубку, наклоненную под углом $30^\circ$ к горизонту. Масса поршня $m=1$ кг. Площадь сечения трубки $S=8$ см$^2.$ Поршень передвинули, увеличив объем воздуха под ним в $n=2$ раза. Чему равно начальное ускорение поршня после того, как его отпустили?

К задаче 5

Трением пренебречь. Наружное давление воздуха $p_0=760$ мм рт. ст., плотность ртути $\rho=13,6$ г/cм$^3.$ Ответ выразить в м/с$^2,$ округлив до целых. Считать температуру газа постоянной. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2.$

Решение.

Искомое ускорение определяется из уравнения

$$m\cdot a=p\cdot S-p_1\cdot S,$$

где $p$ и $p_1$ — давления воздуха под поршнем в исходном состоянии и после сжатия соответственно. Условие равновесия поршня в исходном состоянии:

$$p_0\cdot S+m\cdot g\cdot\sin\alpha=p\cdot S.$$

Считая процесс перемещения поршня изотермическим, на основании закона Бойля-Мариотта находим

$$p=2p_1.$$

Решая систему уравнений, получим:

$$a=\left( \frac{g}{2}\right)\cdot\left(\sin\alpha+\frac{\rho\cdot h_0\cdot S}{m}\right)\approx 44.$$

Здесь $h_0=760$ мм.

Ответ: 44 м/с$^2.$