Трубки с жидкостями - 4: определяем давление при вращении.

Так как разность давлений вертикальных столбов разнится только на величину $\rho g h$, то можно записать:

$$\rho g hS=m\frac{a_{n1}+a_{n2}}{2}$$

Где $m=\rho V=\rho S\cdot 3R$.

$$a_{n1}=\omega^2 R$$

$$a_{n2}=\omega^2 4R$$

Тогда

$$\rho g hS=\rho S\cdot 3R \frac{\omega^2 5R }{2}$$

$$h= \frac{ 15R^2  \omega^2 }{2g}$$

Ответ: $h= \frac{ 15R^2  \omega^2 }{2g}$.

По теореме о движении центра масс можно записать:

$$ma_n=F_1-F_2$$

Силы $F_1$ и $F_2$  -это силы давления на горизонтальный столб жидкости справа и слева. Они отличаются ровно на величину, соответствующую давлению столба высотой $h$:

$$ F_1-F_2=\rho g h S$$

Масса воды в горизонтальной части трубки равна $m=\rho S (l_1+l_2)$.

Определим положение центра масс: $R=\frac{l_2-l_1}{2}$

$$a_n=\omega^2 \frac{l_2-l_1}{2}$$

Подставляем все:

$$\rho g h S=\rho S (l_1+l_2)\cdot\omega^2 \frac{l_2-l_1}{2}$$

$$\omega^2=\frac{2g h}{l_2^2-l_1^2}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{2g h}{l_2^2-l_1^2}}=\sqrt{\frac{2\cdot10\cdot0,1}{0,25^2-0,15^2}}=\sqrt{50}=7,07$$

Ответ: $\omega=7,07$ $\frac{1}{c}$.

Разница давлений вертикальных столбов равна

$$\Delta p=\rho g h -\rho_0 g h$$

Эта разница равна сумме давлений воды и ртути горизонтального столба. Давайте определим последнюю: давление воды, обусловленное центростремительным ускорением, равно: $\rho_0\cdot\frac{l}{2}\omega^2\cdot\frac{l}{4}=\frac{\rho_0 l^2\omega^2}{8}$,

Давление ртути, обусловленное центростремительным ускорением, равно:

$$\rho\cdot \frac{l}{2}\omega^2\cdot \frac{3l}{4}=\frac{3\rho l^2\omega^2}{8}$$

Тогда

$$\rho g h -\rho_0 g h=\frac{3\rho l^2\omega^2}{8}+\frac{\rho_0 l^2\omega^2}{8}$$

$$ g h( \rho -\rho_0)= l^2\omega^2\left(\frac{3\rho }{8}+\frac{\rho_0 }{8}\right)$$

Вспомним, что

$$\omega^2=\frac{4\pi^2}{T^2}$$

$$ g h( \rho -\rho_0)= l^2\frac{4\pi^2}{T^2}\left(\frac{3\rho }{8}+\frac{\rho_0 }{8}\right)= l^2\frac{\pi^2}{T^2}\left(\frac{3\rho }{2}+\frac{\rho_0}{2} \right)$$

$$T^2= l^2\frac{\pi^2(3\rho +\rho_0) }{(\rho -\rho_0)2gh}$$

$$T= l\sqrt{\frac{\pi^2(3\rho +\rho_0) }{(\rho -\rho_0)2gh}}= 0,4\sqrt{\frac{\pi^2(3\cdot13500 +1000) }{(13500 -1000)\cdot2\cdot10\cdot0,25}}=1,02$$

Ответ: 1, 02 с

Выделим небольшой участок ртути длиной  $\Delta х$, находящийся на расстоянии $x$ от оси вращения. Масса этого участка $m = \rho \Delta x S$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки. Пусть $p_1$ — давление ртути на правой границе участка, $p_2$ — на левой, $\Delta p = p_2 −  p_1$. Рассматриваемый участок движется с центростремительным ускорением $a_n = \omega^2 x$. По второму закону Ньютона:

$$ m\omega^2 x=(p2 − p1) S=\Delta p S$$

$$\Delta p=\frac{ m\omega^2 x }{S}= \rho \Delta x \omega^2 x $$

Далее воспользуемся методом телескопирования:

$$ x\cdot\Delta x=\frac{\Delta(x^2)}{2}$$

А если суммировать такие произведения, то получим:

$$\sum (x\cdot\Delta x )= \sum\Delta \left(\frac{ x^2}{2}\right)=\frac{x_n^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}$$

В нашем случае применение этого метода дает

$$p-p_0=\rho \omega^2\frac{r^2}{2}$$

По закону Бойля –Мариотта $p_0V_1=pV_2$, или $p_0R=pr$, $r$ - новое расстояние от оси симметрии до границы раздела воздух-ртуть.

Так как

$$p=np_0$$

Или

$$p_0R= np_0r$$

Следовательно,

$$r=\frac{R}{n}$$

Тогда

$$p-p_0=p_0(n-1)=\rho \omega^2\frac{R^2}{2n^2}$$

Или

$$\omega^2=\frac{ 2p_0(n-1)n^2}{ \rho  R^2}$$

$$\omega=\frac{n}{R}\sqrt{\frac{ 2p_0(n-1)}{ \rho}}$$

Ответ: $\omega=\frac{n}{R}\sqrt{\frac{ 2p_0(n-1)}{ \rho}}$