Эта статья является продолжением предыдущей, с тем отличием, что здесь трубки разветвлены. Мы будем двигать их с ускорением в ту или иную сторону.
Задача 5.
(‹Физтех», 2012) Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной $l$, запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмосферу (см. рисунок). Трубка заполнена водой так, что в вертикальном колене высота столба воды равна $\frac{l}{3}$. Трубку двигают с ускорением $\frac{g}{5}$, направленным вдоль горизонтального колена. Плотность воды $\rho$, атмосферное давление $p_0$. Диаметр трубки значительно меньше её длины.
1) Найдите давление в воде в месте изгиба трубки.
2) Найдите давление в воде у запаянного конца трубки.
Рисунок 1
Решение.
Показать
Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит столб воды высотой $\frac{L}{3}$ и атмосфера. Тогда
$$ma=(\rho g \frac{L}{3}+p_0)S$$
Откуда
$$p_1=\rho g \frac{L}{3}+p_0 $$
Теперь найдем давление у запаянного конца. Тогда по второму закону произведение $ma$ будет равно разности сил давлений у правого и левого концов горизонтального столба воды:
$$ma=((p+p_0)-p_1)S$$
$$pS=ma+p_1S-p_0S=\rho L S\cdot \frac{g}{5}+(\rho g \frac{L}{3}+p_0)S-p_0S$$
$$p=\rho L \cdot \frac{g}{5}+\rho g \frac{L}{3}=\rho g \frac{8L}{15}$$
Ответ: у изгиба давление равно $p_1=\rho g \frac{L}{3}+p_0 $, у запаянного конца $p=\rho g \frac{8L}{15}$.
Задача 6.
(‹Физтех», 2015, 11 ) Тонкая П-образная трубка, размеры которой указаны на рисунке, заполнена ртутью до высоты $\frac{L}{ 9}$ вертикальных частей трубки. Её начинают двигать горизонтально с некоторым ускорением а. При каком максимальном значении $a$ ртуть ещё не будет выливаться из трубки? Ответ выразить в м/с$^2$, округлив до целых. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.
Рисунок 2
Решение.
Показать
Когда мы начнем двигать трубку с ускорением, например, вправо, то в правом колене ртуть опустится, а в левом – поднимется до краев.
Так как всего длина столбика составляет $L+\frac{2L}{9}=\frac{11L}{9}$, то, если $\frac{9L}{9}$ этой длины окажется в вертикальном колене, то в горизонтальном останется только $\frac{2L}{9}$. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика ртути. Слева на него давит столб ртути высотой $L$:
$$ma=\rho gL S$$
Где $m=\frac{2L}{9}\cdot \rho S$
Тогда:
$$\frac{2L}{9}\cdot \rho S a=\rho gL S$$
Или
$$a=\frac{9}{2}g$$
Ответ: $a=4,5g=45$ м/с$^2$.
Задача 7. (МФТИ, 1998) «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной полностью заполнен водой (см. рисунок). После того, как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка влево) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось 1/16 массы всей воды. Чему при этом равно давление в жидкости у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки'? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину $l$, атмосферное давление равно $p_0$, плотность воды $\rho$.
Рисунок 3
Решение.
Показать
Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (влево), столб воды в правом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота правого столба будет полной - $l$. А вот в среднем колене столбик станет ниже. Давайте определим, на сколько.
Полная масса воды в тройнике
$$m=4\rho l S$$
Так как вылилось $\frac{m}{16}$, то это $\frac{\rho l S }{4}$ - то есть в левом вертикальном колене уровень опустился на $\frac{l}{4}$.
При движении жидкости в сосуде ее поверхность наклонена к горизонтали под некоторым углом. Этот угол можно определить из треугольника ускорений. Тогда
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}$$
Угол наклона поверхности жидкости мы можем также найти из рисунка:
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{l}{4}}{l}=0,25$$
Следовательно,
$$\frac{a}{g}=0,25$$
$$a=0,25g$$
Теперь определим давление у закрытого конца. По второму закону Ньютона для горизонтального столбика жидкости длиной $l$ (от точки $O$ до точки $O’$)
$$ma=( (p_0+\rho \frac{3}{4}l)-p)S$$
Подставим ускорение и массу:
$$\rho lS\cdot0,25g=((p_0+\rho g\frac{3}{4}l)-p)S$$
$$\rho l\cdot0,25g=p_0+\rho g \frac{3}{4}l-p$$
$$p= p_0+\rho g \frac{3}{4}l-\rho l\cdot0,25g =p_0+\rho g \frac{l}{2} $$
Ответ: $p= p_0+\rho g \frac{l}{2} $.
Задача 8. (МФТИ, 1998) Тройник» из трёх вертикальных открытых в атмосферу трубок полностью заполнен водой (см. рисунок). После того, как «тройник» стали двигать в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка) с некоторым постоянным ускорением $a$, из него вылилось 9/32 всей массы содержавшейся в нём воды. Чему равна величина ускорения $a$? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины трубок равны $l$.
Рисунок 4
Решение.
Показать
Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (вправо), столб воды в левом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота левого столба будет полной - $l$. А вот в среднем колене и в правом столбики станут ниже. Давайте определим, на сколько.
Полная масса воды в тройнике
$$m=4\rho l S$$
Так как вылилось $\frac{9m}{32}$, то это $\frac{9\rho l S }{8}$.
При движении жидкости в сосуде ее поверхность наклонена к горизонтали под некоторым углом. Этот угол можно определить из треугольника ускорений. Тогда
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}$$
Угол наклона поверхности жидкости мы можем также найти из рисунка: так все вертикальные колена расположены на одном расстоянии, то треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны с коэффициентом 2, следовательно, $EF=2BC$ и тогда уровень в правом колене опустился на $\frac{6l}{8}$, а в среднем на $\frac{3l}{8}$. Теперь можно определить тангенс угла наклона прямой $AF$ к горизонту:
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{6l}{8}}{l}=0,75$$
Следовательно,
$$\frac{a}{g}=0,75$$
$$a=0,75g$$
Ответ: $a=0,75g$
Задача 9.
(МФТИ, 1998) «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой целиком заполнен водой (см. рисунок). Когда «тройник» стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости рисунка), на него вылилось 1/8 всей массы содержавшейся в нём воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части (точка О) закрытой трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длины трубок равны $L$, атмосферное давление равно $p_0$, плотность воды $\rho$.
Рисунок 5
Решение.
Показать
Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (влево), столб воды в правом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота правого столба будет полной - $l$. А вот в левом колене столбик станет ниже. Давайте определим, на сколько.
Полная масса воды в тройнике
$$m=4\rho l S$$
Так как вылилось $\frac{m}{8}$, то это $\frac{\rho l S }{2}$. То есть в левом колене высота столба равна $\frac{\rho l S }{2}$.
Теперь можно определить тангенс угла наклона прямой уровня к горизонту:
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{l}{2}}{l}=0,5$$
Тогда
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}=0,5$$
Следовательно,
$$a=0,5g$$
Определяем давление в нижней части трубки:
$$p=p_0+\rho g l+p_1$$
Где $p_1$- давление в центральной части горизонтального отрезка. Определим его. Можно его найти как среднее арифметическое между величинами давлений в правом и левом столбах (это получится из второго закона Ньютона, если вы его составите):
$$p_1=\frac{\rho g l +\frac{\rho g l }{2}}{2}=0,75\rho g l$$
Тогда
$$p=p_0+1,75\rho g l$$
Ответ: $p=p_0+1,75\rho g l$
Простая физика