Две доски и брусок

Задача.

Две одинаковые доски длиной $L$ каждая лежат на гладком горизонтальном столе, соприкасаясь торцами (см. рис.). Брусок, масса которого равна массе доски, запускают вдоль досок с конца доски 1 с такой скоростью $\upsilon_0$, что он, проскользив по обеим доскам, остается на конце доски 2. Каким будет промежуток между торцами досок в момент остановки бруска на второй доске? Чему равен коэффициент трения между бруском и досками?

Рисунок к задаче

Решение. Брусок поедет по доскам, и на него будет действовать сила трения, направленная противоположно его скорости. Однако, если рассмотреть доску, то она едет по отношению к бруску влево. Значит, та же самая сила трения будет направлена для доски вправо, а значит, будет ее разгонять.

$$F_{tr}=\mu m g$$

Второй закон Ньютона для бруска:

$$ma= F_{tr}=\mu m g$$

$$a=\mu g$$

Брусок проедет по обеим доскам расстояние $2L$ и остановится. Пусть после прохождения первой доски брусок имеет скорость $\upsilon_1$. Доски (обе, так как брусок действует на первую, а первая доска – на вторую) пускай имеют скорости $\upsilon_2$. И брусок, и доски, напоминаю, в силу направленности силы трения едут в одну и ту же сторону.

Разные положения бруска на досках и скорости в этот  момент

Следовательно, скорость бруска относительно доски равна $\upsilon_1-\upsilon_2$. Ускорение бруска равно $\mu g$, а так как на доски действует сила трения $F_{tr}=\mu m g$, то их ускорение

$$2ma_{d1}=\mu m g$$

$$a_{d1}=\frac{\mu g}{2}$$

И: брусок тормозит, а доски разгоняются – ускорения направлены в разные стороны! Значит, относительное ускорение бруска и досок равно сумме их ускорений:

$$a_{otn1}=0,5\mu g+\mu g=1,5\mu g$$

Теперь воспользуемся формулой «без времени» для движения бруска по первой доске:

$$(\upsilon_1-\upsilon_2)^2-\upsilon_0^2=-1,5\mu g\cdot L\cdot 2~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Изучим движение по второй доске. Теперь брусок никак не воздействует на первую доску, и та продолжает движение со скоростью $\upsilon_2$. Сила трения со стороны бруска теперь действует на вторую доску, только на нее. Сила трения со стороны бруска та же - $F_{tr}=\mu m g$, но ее масса $m$, а значит, ускорение, которое сообщает ей сила трения - $a_{d2}=\mu g$. Опять ускорения направлены в разные стороны и относительное ускорение равно сумме ускорений:

$$a_{otn2}=\mu g+\mu g=2\mu g$$

Скорость бруска вместе со второй доской обозначим $\upsilon_3$ - при этом брусок покоится на доске, относительная скорость равна нулю. Теперь воспользуемся формулой «без времени» для движения бруска по второй доске:

$$(\upsilon_1-\upsilon_2)^2=2\mu g\cdot L \cdot 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Вычтем (1) и (2):

$$\upsilon_0^2=7\mu g L~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Из (2)

$$\upsilon_1-\upsilon_2=\sqrt{4\mu g L} = \sqrt{4\cdot \frac{\upsilon_0^2}{7}}$$

$$\upsilon_1-\upsilon_2=\frac{2\upsilon_0}{\sqrt{7}}$$

По закону сохранения импульса (для момента, когда брусок достиг конца первой доски):

$$m\upsilon_0=m\upsilon_1+2m\upsilon_2$$

$$\upsilon_0=\upsilon_1+2\upsilon_2=\upsilon_1+2\upsilon_1-\frac{4\upsilon_0}{\sqrt{7}}$$

Откуда

$$3\upsilon_1=\upsilon_0\left(1+\frac{4}{\sqrt{7}}\right)$$

$$\upsilon_1=\upsilon_0\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{3\sqrt{7}}\right)$$

$$\upsilon_1=\upsilon_0\left(\frac{\sqrt{7}+4}{3\sqrt{7}}\right)$$

Урра! Ищем $\upsilon_2$:

$$\upsilon_2=\upsilon_1-\frac{2\upsilon_0}{\sqrt{7}}=\upsilon_0\left(\frac{\sqrt{7}+4}{3\sqrt{7}}\right) -\frac{6\upsilon_0}{3\sqrt{7}}=\upsilon_0\frac{\sqrt{7}-2}{3\sqrt{7}}$$

Но нам еще надо же найти скорость второй доски, когда брусок достигнет ее конца - $\upsilon_3$! Для этого составляем еще один закон сохранения импульса – от момента перехода бруска на вторую доску до момента, когда движение бруска по второй доске прекратилось:

$$m\upsilon_1+m\upsilon_2=2m\upsilon_3$$

$$\upsilon_1+\upsilon_2=2\upsilon_3$$

$$\upsilon_3=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\upsilon_0\frac{\sqrt{7}+1}{3\sqrt{7}}$$

Ну вот, теперь можно определить время «раздельного» движения досок. Первая движется с постоянной скоростью $\upsilon_2$. Вторая – с ускорением $a_{d2}=\mu g$, и достигает скорости $\upsilon_3$. Тогда

$$\upsilon_3=\upsilon_2+\mu gt$$

Время «убегания» второй доски от первой

$$t=\frac{\upsilon_3-\upsilon_2}{\mu g}$$

$$\upsilon_3-\upsilon_2=\upsilon_0\frac{\sqrt{7}+1}{3\sqrt{7}}-\upsilon_0\frac{\sqrt{7}-2}{3\sqrt{7}}=\upsilon_0\frac{1}{\sqrt{7}}$$

$$t=\upsilon_0\frac{1}{\sqrt{7}\mu g}$$

Тогда искомое расстояние между торцами досок будет равно разности расстояний, пройденных досками за это время. Вторая доска переместится на

$$x_2=\upsilon_2t+\frac{at^2}{2}$$

А первая на

$$x_1=\upsilon_2t$$

$$x_2-x_1=\frac{at^2}{2}=\upsilon_0^2\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^2\cdot \frac{ 1}{2\mu g }=\frac{\upsilon_0^2}{14\mu g}$$

Подставляя (3), получаем

$$x_2-x_1=\frac{7\mu g L}{14\mu g}=\frac{L}{2}$$

Кстати, из (3) и коэффициент трения можно определить:

$$\mu=\frac{\upsilon_0^2}{7g L}$$

Ответ: искомое расстояние между торцами досок будет равно $ x=\frac{L}{2}$, коэффициент трения $\mu=\frac{\upsilon_0^2}{7g L}$.