Третий закон Кеплера

В этой статье решаем задачи на второй закон Кеплера. Задачи взяты с сайта «myastronomy.ru».

Задача 1.

Уран совершает полный оборот вокруг Солнца за 84 земных года. Во сколько раз (в среднем) он дальше от Солнца, чем Земля?

Решение. Воспользуемся третьим законом Кеплера:

$$\frac{T_U^2}{T_E^2}=\frac{a_U^3}{a_E^3}$$

$$\frac{a_U}{a_E}=\sqrt[3]{ \frac{T_U^2}{T_E^2}}=\sqrt[3]{ \frac{84^2}{1^2}}=19,2$$

Ответ: Уран дальше в 19,2 раза.

 

Задача 2.

Расстояние от астероида Веста до Солнца изменяется в пределах от 2,2 до 2,6 а.е. Найдите период обращения астероида.

Решение. Нам даны перигельное и афелийное расстояния. Значит,

$$2a=q+Q$$

$$a=\frac{q+Q}{2}=2,4$$

Далее применим третий закон Кеплера:

$$\frac{T_V^2}{T_E^2}=\frac{a_V^3}{a_E^3}$$

$$ T_V= T_E\sqrt{\frac{a_V^3}{a_E^3}}= 1\sqrt{\frac{2,4^3}{1^3}}=3,72$$

Ответ: период Весты составляет 3,72 года.

 

Задача 3.

Расстояние от Солнца до астероида Юнона изменяется в пределах от 1,99  до 3,55 а.е., до астероида Паллада от 2,13 до 3,40 а.е. У какого из астероидов больше а) период обращения б) эксцентриситет орбиты?

Решение. Аналогично предыдущей задаче, для Юноны

$$2a=q+Q$$

$$a=\frac{q+Q}{2}=2,77$$

Далее определим эксцентриситет:

$$\varepsilon=\frac{Q-q}{Q+q}=0,282$$

$$ T_U= T_E\sqrt{\frac{a_U^3}{a_E^3}}= 1\sqrt{\frac{2,77^3}{1^3}}=4,61$$

Для Паллады:

$$2a=q+Q$$

$$a=\frac{q+Q}{2}=2,765$$

Далее определим эксцентриситет:

$$\varepsilon=\frac{Q-q}{Q+q}=0,229$$

$$ T_P= T_E\sqrt{\frac{a_P^3}{a_E^3}}= 1\sqrt{\frac{2,765^3}{1^3}}=4,6$$

Ответ: и эксцентриситет, и период больше у Юноны.

 

Задача 4.

Радиолокационными методами установлено, что кратчайшее расстояние между Землей и Венерой равно 0,28 а.е. Каков период обращения Венеры вокруг Солнца? Орбиты обеих планет считать окружностями, лежащими в одной плоскости.

Решение.  Кратчайшим будет расстояние между планетами, когда они в нижнем соединении. Применим третий закон Кеплера

$$\frac{T_E^2}{T_V^2}=\frac{a_E^3}{a_V^3}$$

$$\frac{1^2}{T_V^2}=\frac{1^3}{(1-0,28)^3}$$

$$ T_V=\sqrt{(1-0,28)^3}=0,611$$

Мы получили период в годах, давайте переведем в земные сутки: 223.

Ответ: 223 сут.

Задача 5. Астероид Икар проходит перигелий своей орбиты каждые 409 суток, приближаясь к Солнцу на расстояние 0,187 а.е. Как далеко может удаляться от Солнца Икар?

Решение. Нужно найти афелийное расстояние, зная перигелий и период. Сначала применим третий закон Кеплера:

$$\frac{T_{Ik}^2}{T_E^2}=\frac{a_{Ik}^3}{a_E^3}$$

$$ a_{Ik}= a_E \sqrt[3]{\frac{ T_{Ik}^2}{ T_E^2}}= 1 \sqrt[3]{\frac{ 409^2}{ 365^2}}=1,08$$

Теперь, зная, что $2a=Q+q$, определяем афелийное расстояние:

$$Q=2a-q=2,16-0,187=1,973$$

Теперь рассчитаем эксцентриситет:

$$\varepsilon=\frac{Q-q}{Q+q}=0,827$$

Ответ: $Q=1,97$ а.е.

 

Задача 6.

Найдите период обращения (в годах) астероида, у которого перигелий находится на орбите Земли, а эксцентриситет орбиты $\varepsilon=0,5$.

Решение. Если $q=1$ а.е., то можем определить большую полуось:

$$a=\frac{q}{1-\varepsilon}=2$$

Следовательно,

$$2a=Q+q$$

$$Q=2a-q=4-1=3$$

По третьему закону Кеплера:

$$\frac{T_{as}^2}{T_E^2}=\frac{a_{as}^3}{a_E^3}$$

$$T_{as}= T_E \sqrt{\frac{a_{as}^3}{a_E^3}}=1 \sqrt{\frac{2^3}{2^3}}=2,8$$

Ответ: 2,8 года.

Задача 7.

Комета Галлея обращается вокруг Солнца за 76 лет, планета Нептун - за 165 лет. Кто из них более удалён от Солнца в точке афелия своей орбиты?

Решение. По третьему закону Кеплера:

$$\frac{T_{G}^2}{T_N^2}=\frac{a_{G}^3}{a_N^3}$$

$$\frac{a_{G}}{a_N}=\sqrt[3]{ \frac{T_{G}^2}{T_N^2}}=\sqrt[3]{ \frac{76^2}{165^2}}=0,596$$

Так как большая полуось для Нептуна равна 30,1 а.е., то

$$a_G=0,596a_N=17,9$$

У кометы Галлея очень большой эксцентриситет, он равен 0,967. Поэтому

$$q=a(1-\varepsilon)=17,9(1-0,967)=0,592$$

$$Q=a(1+\varepsilon)=17,9(1+0,967)=35,28$$

Эксцентриситет орбиты Нептуна 0,011. То есть она вытянута совсем немного, и афелийное расстояние близко к большой полуоси. Значит, комета Галлея удаляется от Солнца дальше Нептуна.

 

Задача 8.

В романе Жюля Верна "Гектор Сервадак" описана комета Галлия с расстоянием от Солнца в афелии 820 млн. км и периодом обращения 2 года. Могла ли быть такая комета в действительности?

Решение. По третьему закону Кеплера:

$$\frac{T_{G}^2}{T_E^2}=\frac{a_{G}^3}{a_E^3}$$

$$ a_{G}= a_E\sqrt[3]{ \frac{T_{G}^2}{T_E^2}}= 1\sqrt[3]{ \frac{2^2}{1^2}}=1,587$$

Таким образом, большая полуось орбиты такой кометы должна быть равна 1,587 а.е., а это больше, чем 820 млн. км.

Ответ: нет.

 

Задача 9.

Космический зонд начинает падать на Солнце с орбиты Земли без начальной скорости. Оцените время падения.

Решение. Пусть падение происходит по очень вытянутому эллипсу. Тогда для этого эллипса $2a=1$ а.е., $a=0,5$ а.е. По третьему закону Кеплера

$$\frac{T_{Z}^2}{T_E^2}=\frac{a_{Z}^3}{a_E^3}$$

$$ T_{Z}= T_E\sqrt{\frac{a_{Z}^3}{a_E^3}}= 1\sqrt{\frac{0,5^3}{1^3}}=0,353$$

Период зонда составил бы $0,353\cdot 365=129$ суток. А так как зонд осуществляет движение только туда, то потратит время, равное половине периода, или 65 суток приблизительно.

Задача 10.

Определите период обращения искусственного спутника Земли, если наивысшая точка его орбиты - 5000 км над поверхностью Земли, а наинизшая - 300 км. Землю считать шаром с радиусом 6370 км. Известны период обращения и большая полуось орбиты Луны (27,3 суток, 384,4 тыс. км).

Решение: для данного спутника перигельное расстояние $q=300+6370=6670$ км, афелийное - $Q=5000+6370=11370$ км.  Определим длину большой полуоси

$$a=\frac{q+Q}{2}=\frac{6670+11370}{2}=9020$$

Тогда по третьему закону Кеплера

$$\frac{T_{sp}^2}{T_L^2}=\frac{a_{sp}^3}{a_L^3}$$

$$ T_{sp}= T_L\sqrt{\frac{a_{sp}^3}{a_L^3}}= 27,3\sqrt{\frac{9,02^3}{384,4^3}}=0,098$$

Переведем период из суток в часы: $ T_{sp}=0,098\cdot24=2,36 $ часа.

Ответ: период обращения составит 2,4 часа.

 

Задача 11.

Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты и звёздный период обращения?

Решение: так как речь о противостояниях, то планета внешняя. Чтобы произошло противостояние, необходимо, чтобы Земля обгоняла эту внешнюю планету на круг за 2 года. То есть угловая скорость сближения (разность угловых скоростей) составит $\frac{360^{\circ}}{2}$, или $180^{\circ}$ в год. Таким образом,

$$\omega_E-\omega_X=\frac{180^{\circ}}{1}$$

$$\omega_X=\omega_E-\frac{180^{\circ}}{1}=\frac{360^{\circ}}{1}-\frac{180^{\circ}}{1}=\frac{180^{\circ}}{1}=\frac{360^{\circ}}{2}$$

Таким образом, неизвестная планета делает полный оборот за два года, и по третьему закону можно определить большую полуось орбиты для нее:

$$\frac{T_X^2}{T_E^2}=\frac{a_X^3}{a_E^3}$$

$$ a_{X}= a_E\sqrt[3]{ \frac{T_X^2}{T_E^2}}= 1\sqrt[3]{ \frac{2^2}{1^2}}=1,587$$

Все говорит о том, что неизвестная планета – это Марс.

 

Задача 12.

Противостояния Марса повторяются через 780 суток, видимый диаметр Марса в противостоянии изменяется в пределах от $13’’$ до $25’’$ По этим данным определите эксцентриситет марсианской орбиты. Орбиту Земли считать окружностью, наклонением орбиты Марса пренебречь.

Решение: когда момент противостояния совпадает с нахождением Марса в афелии, расстояние от Земли до Марса максимально, а видимый диаметр Марса – минимален, и наоборот, когда момент противостояния совпадает с нахождением Марса в перигелии, расстояние от Земли до Марса минимально, а видимый диаметр Марса – максимален. Видимый диаметр и расстояние линейно зависят друг от друга, поэтому

$$\frac{l_{max}}{l_{min}}=\frac{D_{max}}{D_{min}}$$

$$\frac{a(1+\varepsilon)-1}{ a(1-\varepsilon)-1}=\frac{D_{max}}{D_{min}}$$

$$\frac{a(1+\varepsilon)-1}{ a(1-\varepsilon)-1}=\frac{25}{13}$$

Решим это уравнение.

$$ 13a(1+\varepsilon)-13= 25a(1-\varepsilon)-25$$

$$38a\cdot \varepsilon =12a-12$$

$$\varepsilon=\frac{6(a-1)}{19a}$$

Определим период по данным задачи

$$\omega_E-\omega_M=\frac{360^{\circ}}{780}$$

$$\omega_M=\omega_E-\frac{360^{\circ}}{780}=\frac{360^{\circ}}{365}-\frac{360^{\circ}}{780}=0,525=\frac{360^{\circ}}{686}$$

Таким образом, период Марса составляет 686 дней. А зная его, можно определить и большую полуось орбиты по третьему закону Кеплера:

$$ a_{M}= a_E\sqrt[3]{ \frac{T_M^2}{T_E^2}}= 1\sqrt[3]{ \frac{686^2}{365^2}}=1,523$$

Вернемся к расчету эксцентриситета:

$$\varepsilon=\frac{6(a-1)}{19a}=\frac{6(1,523-1)}{19\cdot1,523}=0,108$$

Ответ: эксцентриситет орбиты Марса примерно равен 0,1.

Задача 13.

Эксцентриситет орбиты Плутона составляет 0,25. Оцените, на сколько звёздных величин различается его блеск в афелии и перигелии, если планету наблюдают с Земли в противостоянии?

Решение. Различие блеска объясняется тем, что, чем дальше светящийся объект, тем больше радиус сферы, на поверхность которой распределяется весь его свет. А площадь сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Значит, освещенность изменяется в квадрате с ростом расстояния.

Поэтому по формуле Погсона

$$m_a-m_p=-2,5\lg E_a+2,5\lg E_p=-2,5\lg r_a^2+2,5\lg r_p^2=-5\lg r_a+5\lg r_p$$

Расстояние до Плутона в момент противостояния и при прохождении Плутоном афелия:

$$ r_a=a(1+\varepsilon)-1$$

Расстояние до Плутона в момент противостояния и при прохождении Плутоном перигелия:

$$ r_p=a(1-\varepsilon)-1$$

Большая полуось орбиты Плутона составляет примерно 39,5 а.е. Тогда

$$m_a-m_p=-5\lg(\frac{r_a}{ r_p})= -5\lg(\frac{a(1+\varepsilon)- 1}{a(1-\varepsilon)-1})= -5\lg(\frac{39,5\cdot1,25-1}{39,5\cdot0,75-1})= -5\lg(1,689)=-1,14$$

Ответ: блеск Плутона будет отличаться на $1,14^m$.

 

Задача 14.

Видимая с Земли звёздная величина некоторой планеты в противостоянии на 3,43 звёздной величины меньше, чем в соединении. Какая это планета?

Решение. Поступим так же, как и при решении предыдущей задачи.

$$m_s-m_p=-3,43$$

$$m_s-m_p=-2,5\lg E_s+2,5\lg E_p=-2,5\lg r_s^2+2,5\lg r_p^2=-5\lg r_s+5\lg r_p$$

Расстояние до планеты в соединении:

$$ r_s=a+1$$

Расстояние до планеты в противостоянии:

$$ r_p=a-1$$

Тогда

$$m_s-m_p=-5\lg(\frac{r_s}{ r_p})= -5\lg(\frac{a+1}{a-1})= -3,43$$

$$\lg(\frac{a+1}{a-1})=0,686$$

Следовательно,

$$\frac{a+1}{a-1}=10^(0.686)=4,85$$

$$3,85a=5,85$$

$$a=1,52$$

Эта планета – Марс.

Ответ: Марс.