Пульсары и черные дыры: размеры, плотности, периоды.

В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня. Автор подборки - Шатовская Н.Е.

Задача 1.

В межзвёздном пространстве находится облако нейтрального водорода радиусом 1 парсек, массой 100 масс  Солнца и температурой 50 К. Вспыхнет ли из этого облака звезда?

Определим критический радиус такого облака. Это можно сделать, приравняв энергию гравитационного взаимодействия и тепловую (по модулю):

$$W_p=-\frac{GM^2}{r}$$

$$W=\frac{M}{M_H}RT$$

Если суммарная энергия облака будет отрицательной – то есть гравитационная окажется больше по модулю, чем тепловая, то звезда образуется.

$$\frac{GM^2}{r}\geqslant \frac{M}{M_H}RT$$

$$r\leqslant \frac{GMM_H}{RT}=\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot100\cdot2\cdot10^{30}\cdot2\cdot10^{-3}}{8,31\cdot50}=6,4\cdot10^{16}$$

В километрах это $r=6,4\cdot10^{13}$. 1 парсек - $3,09\cdot10^{13}$ км. Так как радиус облака меньше критического, то звезда образуется.
Ответ: да.

Задача 2.

Сверхновая в максимуме блеска достигает абсолютной звёздной величины $-21^m$. Сравните светимость сверхновой со светимостью Солнца.

По формуле Погсона

$$\lg L=0,4(M_{\odot}-M)=0,4(4,77+21)$$

$$L=10^{10}$$

Ответ: $L=10^{10}$ светимостей Солнца.

Задача 3.

Оцените (из общефизических соображений) нижний предел периода вращения пульсара, радиус которого R=10 км.

Период вращения пульсара должен быть таким, чтобы линейная скорость вращения на его поверхности не превышала скорость света.

Тогда

$$T>\frac{2\pi R}{c}=\frac{2\pi\cdot10^4}{3\cdot10^8}=2,09\cdot10^{-4}$$

Ответ: 0,21 мс

Задача 4.

Оцените размер и плотность, который должна иметь чёрная дыра массой 30 масс Солнца.

Для черной дыры вторая космическая скорость должна быть равна  скорости света.

$$R=\frac{2MG}{c^2}=\frac{2\cdot 30\cdot 2\cdot 10^{30}\cdot6,67\cdot10^{-11}}{9\cdot10^{16}}=88,93\cdot10^3$$

Плотность

$$\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{30\cdot2\cdot10^{30}\cdot 3}{4\pi\cdot(88930)^3}=2,04\cdot10^{16}$$

Ответ: радиус - 88,9 км, плотность 20 млн. тонн на см$^3$.

Задача 5.

Солнце обращается вокруг центра Галактики по круговой орбите радиуса примерно 10 кпк со скоростью 250 км/с, а) Полагая всю массу Галактики сосредоточенной в её центре, определите значение этой массы; б) Найдите продолжительность галактического года (периода обращения Солнца вокруг центра Галактики).

Из второго закона Ньютона

$$M=\frac{\upsilon^2R}{G}=\frac{250000^2\cdot10^4\cdot3\cdot10^{16}}{6,67\cdot10^{-11}}=281,1\cdot10^{39}$$

Период

$$T=\frac{2\pi R}{\upsilon}=\frac{2\pi\cdot10^4\cdot3\cdot10^{13}}{250}=753,6\cdot10^{13}$$

Получили результат в секундах. Переведем в года: $2,4\cdot10^{8}$.

Ответ: масса - $281,1\cdot10^{39}$ кг, период - $2,4\cdot10^{8}$ лет (240 миллионов лет).

Задача 6.

Определите расстояние до шарового скопления и его размеры, если известно, что а) в нём находится цефеида, видимая величина которой $15,1^m$,  а абсолютная $0^m$ и б) угловой диаметр скопления 12’.

По условию а)

$$M=m+5-5\lg r$$

$$\lg r=\frac{m+5-M}{5}=\frac{20,1}{5}=4,02$$

$$r=10471$$

По условию  б) угловой  размер

$$D=\frac{rd}{3438’}=10471\cdot\frac{12'}{3438'}=36,5$$

Ответ: расстояние 10471 парсек, размер – 36,5 парсека.

Задача 7.

Каково расстояние до галактики, если в ней обнаружена новая звезда, видимая звёздная величина которой $+18^m$, а абсолютная $-7^m$?

$$M=m+5-5\lg r$$

$$5\lg r=m+5-M=18+5-(-7)=30$$

$$\lg r=6$$

$$r=10^6$$

Ответ: $10^6$ парсек.