Определение расстояний по параллаксам космических объектов

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с расчетом расстояний до небесных тел. При этом будем пользоваться понятием параллакс. О том, что такое параллактический угол, рассказывает иллюстрация. По тому, на сколько меняется видимое положение звезды на небесной сфере в связи с движением Земли по орбите, можно судить о расстоянии до нее. Если объект достаточно близко (по космическим меркам), то параллактический угол велик, если далеко – то совсем мал. Параллактический угол измеряют, как правило, в минутах или секундах.

Расстояния $r$ от Земли до тел Солнечной системы вычисляются по их горизонтальным экваториальным параллаксам $p_0$ и экваториальному радиусу Земли $R_0$:

$$r = \frac{R_0}{\sin p_0}$$

или

$$r = \frac{3438'}{p_0'}R_0$$

если параллакс выражен в минутах дуги ($p_0'$) и

$$r = \frac{206265"}{p_0"} R_0$$

при параллаксе, выраженном в секундах дуги ($p_0"$)·

Если положить $R_0=1$, то $r$ получается в экваториальных радиусах Земли. При вычислении $r$ в километрах следует принять $R_0=6378$ км.

Если угловые размеры небесного тела $\rho \geqslant 3^{\circ}$, то его линейные размеры

$$R = r \sin \rho$$

а при $\rho < 3^{\circ}$, вследствие пропорциональности $\sin \rho$ и $\rho$,

$$R=r\frac{\rho’}{3438}$$

$\rho’$ — в минутах дуги,

$$R = r \frac{\rho’’}{206265"}$$

$\rho’’$ — в секундах дуги.

и

$$R = R_0\frac{\rho}{p_0}$$

где $\rho$ и $p_0$ — в одноименных единицах измерения.

Радиусы Солнца и планет обычно выражаются в радиусах Земли (реже — в километрах), причем полярный радиус $R_p$, экваториальный радиус $R_e$ и сжатие планеты $\varepsilon$  связаны зависимостью

$$R_p = R_e(1-\varepsilon)$$

а средний радиус

$$R_s=\sqrt[3]{R_e^2R_p}=R_e\sqrt[3]{1-\varepsilon}$$

При совпадении направлений вращения и обращения небесного тела вокруг Солнца продолжительность его солнечных суток $S$, период вращения $P$ и период обращения $T$ связаны зависимостью

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{P}-\frac{1}{T}, P<T$$

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{T}-\frac{1}{P}, P>T$$

а при противоположных направлениях одному из периодов приписывается знак минус.

 

Задача 1.

Вычислить средний радиус и сжатие Земли, если ее экваториальный радиус равен 6378 км, а полярный радиус— 6357 км.

Средний радиус найдем как:

$$R_s=\sqrt[3]{R_e^2R_p}=\sqrt[3]{6378^2\cdot6357}=6371$$

Сжатие Земли:

$$R_s=R_e\sqrt[3]{1-\varepsilon}$$

$$\frac{ R_s }{ R_e }=\sqrt[3]{1-\varepsilon}$$

$$1-\varepsilon=\frac{ R_s^3 }{ R_e^3 }$$

$$\varepsilon=1-\frac{ R_s^3 }{ R_e^3 }=1-\frac{ 6371^3 }{ 6378^3 }=0,033$$

Ответ: $R_s=6371$ км, $\varepsilon=0,033$.

 

Задача 2.

Радиоимпульс, направленный к Венере в ее нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца 0,7233 а. е., возвратился к Земле через 4м36с. Вычислить геоцентрическое расстояние планеты во время радиолокации, длину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.

Вспоминаем, что нижнее соединение – это такое расположение Венеры, когда она между Землей и Солнцем. Так как сигнал возвратился через 4 минуты 36 с, следовательно, в одну сторону он шел 2 минуты 18 секунд, или 138 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

$$S=ct=3\cdot10^8\cdot138=414\cdot10^8$$

В километрах это $S=41,4\cdot10^6$ км.

Так как расстояние от Земли до Солнца равно 1 астрономической единице, то

$$1 a.e.=L+S$$

Где $L$ - расстояние от Венеры до Солнца.

$$S=1 a.e. -0,7233 a.e.=0,2767 a.e.$$

Тогда:

$$1 a.e.=\frac{S}{0,2767}=\frac{41,4}{0,2767}=149,62$$

Мы получили длину астрономической единицы сразу в миллионах км.

Вычислим горизонтальный экваториальный параллакс Солнца в секундах дуги:

$$r = \frac{206265"}{p_0"} R_0$$

Откуда

$$ p_0"=\frac{206265"}{r} R_0=\frac{206265"}{149,62\cdot10^6} \cdot 6378=8,794$$

Ответ: $S=41,4\cdot10^6$ км, $1 a.e.= 149,62$ млн. км, $ p_0"=8,794’’$.

Задача 3.

При среднем противостоянии Марса посланный к нему радиосигнал возвратился к Земле через 522,6 с. Найти среднее гелиоцентрическое расстояние Земли и соответствующий ему горизонтальный экваториальный параллакс Солнца. Сидерический период обращения Марса равен 1,881 года.

Аналогично предыдущей задаче, противостояние – это положение Марса такое, что  Земля расположена  между Солнцем и Марсом. Средним его назвали потому, что при противостоянии Марс может находиться ближе или дальше от Земли, здесь взято среднее расстояние.

Так как сигнал возвратился через 522,6 с, следовательно, в одну сторону он шел 261,3 секунды. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

$$S=ct=3\cdot10^8\cdot261,3=783,9\cdot10^8$$

В километрах это $S=78,4\cdot10^6$ км.

Дальше для решения нам потребуется третий закон Кеплера

$$\left(\frac{T_M}{T_Z}\right)^2=\left(\frac{S+r_Z}{r_Z}\right)^3$$

Где $S+r_Z$ - расстояние от Солнца до Марса, $r_Z$ - расстояние от Солнца до Земли.

Тогда

$$\frac{S+r_Z}{r_Z}=\sqrt[3]{ \left(\frac{T_M}{T_Z}\right)^2}=\sqrt[3]{1,881}$$

$$ S+r_Z=1,524r_Z$$

$$r_Z=149,62\cdot10^6$$

Расстояние найдено в км.

Определяем параллакс Солнца:

$$ p_0"=\frac{206265"}{r} R_0=\frac{206265"}{149,62\cdot10^6} \cdot 6378=8,793$$

Ответ: $r_Z=149,62\cdot10^6$ км, $ p_0"=8,794’’$.

 

Задача 4.

Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при ее среднем (384 400 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км) геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли — 6378 км.

$$ p_{l1}"=\frac{3438’}{r_1} R_0=\frac{3438’}{384400} \cdot 6378=57’,03’’$$

$$ p_{l2}"=\frac{3438’}{r_2} R_0=\frac{3438’}{356410} \cdot 6378=61’,29’’$$

$$ p_{l3}"=\frac{3438’}{r_3} R_0=\frac{3438’}{406740} \cdot 6378=53’,55’’$$

Ответ: $ p_{l1}"=57’,03’’$, $ p_{l2}"=61’,29’’$, $ p_{l3}"=53’,55’’$.

 

Задача 5.

По данным или результатам задачи 4 вычислить предельные значения диаметра лунного диска, который при среднем геоцентрическом расстоянии равен 31'05".

Если угловые размеры небесного тела $\rho < 3^{\circ}$, вследствие пропорциональности $\sin \rho$ и $\rho$,  его линейные размеры

$$R=r\frac{\rho’}{3438’}$$

$\rho’$ — в минутах дуги.

Переведем размер лунного диска в минуты: $31’05’’=31,083’$.

Тогда линейный размер $\rho$

$$\rho=\frac{3438’R}{r}=\frac{3438’\cdot31,083}{384400}=0,278$$

Теперь используем это при расчете минимального и максимального размеров лунного диска:

$$R_{min}= r\frac{\rho’}{3438’}= 356410\frac{0,278}{3438’}=28’49’’$$

$$R_{max}= r\frac{\rho’}{3438’}= 4097400\frac{0,278}{3438’}=32’53’’$$

Ответ: $R_{min}=28’49’’$, $R_{max}=32’53’’$.

 

Задача 6.

Пределы геоцентрического расстояния Луны, измеренного радиолокационным методом в 1975 г., были: 16 января —406 090 км; 28 января —357 640 км и 12 февраля— 406 640 км. Найти значения большой полуоси и эксцентриситета лунной орбиты в интервалах времени, заключенных между смежными датами.

Средним расстоянием планеты от Солнца является большая полуось ее орбиты

$$a=\frac{q+Q}{2}$$

 

Где $q$ и $Q$ - перигельное и афелийное расстояния. То же и для Луны, только вместо перигельного будет перигейное расстояние, вместо афелийного – апогейное.

Тогда

$$a=\frac{q+Q}{2}=\frac{406 090+357 640 }{2}=381865$$

Тогда

$$Q=a(1+\varepsilon)$$

И эксцентриситет

$$\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{406 090}{381865}-1=0,0634$$

Для второго периода времени

$$a=\frac{q+Q}{2}=\frac{406 640+357 640 }{2}=382140$$

И эксцентриситет

$$\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{406 640}{382140}-1=0,0641$$

Ответ: для периода времени от 16 января до 28 - $a=381865$ км, эксцентриситет – 0,0634, для периода 28 января – 12 февраля $a=382140$ км, эксцентриситет – 0,0641.

 

Задача 7.

Радиосигнал, направленный к Меркурию при его наибольшем сближении с Землей, вернулся на Землю через 8м52с. Определить геоцентрическое расстояние планеты и эксцентриситет ее орбиты, если большая полуось орбиты равна 0,387 а. е.

Так как сигнал возвратился через 532 с, следовательно, в одну сторону он шел 266 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

$$S=ct=3\cdot10^8\cdot266=798\cdot10^8$$

В километрах это $S=79,8\cdot10^6$ км, а в  астрономических единицах – 0,533 а.е.

Так как расстояние от Солнца до Земли равно 1 а.е., то расстояние от Солнца до Меркурия равно  $1a.e. -0,533a.e.=0,467 a.e.$

Это больше, чем большая полуось орбиты, поэтому это – афелийное расстояние. Тогда

$$Q=a(1+\varepsilon)$$

И эксцентриситет

$$\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{0,466a.e.}{0,387a.e.}-1=0,206$$

Ответ: $S=79,8\cdot10^6$ км, $\varepsilon=0,206$.