Несколько разных задач по астрономии

Решим несколько задач по астрономии. Меня попросили помочь с ними, я решила оформить решение.

 

Задача 1.

Определите, во сколько раз диаметр галактики больше а) Солнечной системы; б) ближайшей к Солнцу звезды; в) звездных скоплений.

Решение: диаметр Галактики равен примерно 100000 св. лет, в то время как диаметр Солнечной системы (будем считать диаметром диаметр сферы Хилла, то есть расстояние, на котором объект еще может удержать свой спутник) примерно 4 св. года (расстояния отличаются в 25000 раз). До ближайшей звезды Проксима Центавра тоже около 4 св. лет.

Диаметр звездного скопления может колебаться от 20 до 60 пк, что составляет 65-200 св. лет (диаметр галактики больше в 500 раз).

 

Задача 2.

Лучевая скорость звезды равна 10 км/с, ее перемещение на фоне далеких звезд составляет 0,1’’ в год. Расстояние до звезды - 60 св. лет. Вычислите полную скорость звезды.

Решение: одна из составляющих скорости дана, нам осталось вычислить тангенциальную скорость и затем полную. Тангенциальная скорость звезды равна

$$\upsilon_{\tau}=4,74\mu \cdot r$$

Где $\mu$ - собственное движение в с, а $r$ - расстояние до звезды в пк.

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot 0,1 \cdot \frac{60}{3,26}=8,72$$

Получена тангенциальная скорость звезды в км/с. Определяем полную скорость:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{8,72^2+10^2}=13,27$$

Ответ: 13,3 км/с.

 

Задача 3.

Звезда, находясь на расстоянии 10 пк, имеет тангенциальную (перпендикулярную лучу зрения) скорость 20 км/с. За сколько лет она переместится по небу на угловой диаметр Луны ($0,5^{\circ}$)?

Тангенциальная скорость $\upsilon_{\tau}$ звезды в километрах в секунду определяется по ее годичному параллаксу $\pi$ и собственному движению $\mu$, т. е. по дуге, на которую смещается звезда на небе за 1 год:

$$\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\mu r$$

причем $\mu$ и $\pi$ выражены в секундах дуги ("), а расстояние $r$ до звезды — в парсеках.

$\mu$ - собственное движение звезды.

$$\mu=\frac{\upsilon_{\tau}}{4,74r}=\frac{20}{4,74\cdot10}=0,42$$

Если за год звезда смещается на 0,42” за год, то на 30’ – 1800” – она сместится за

$$t=\frac{D}{\mu}=\frac{1800}{0,42}=4266$$

Ответ: 4266 лет.

Задача 4.

Найдите массу газа, который содержится в межзвездном пространстве в объеме, равном объему земного шара.

Плотность межзвездного газа примерно равна $10^{-21}$ кг/м$^3$. Поэтому масса будет равна

$$m=\rho\cdot V=\rho\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\cdot \pi \cdot 6400000^3\cdot 10^{-21}}{3}=1,1$$

Ответ: 1,1 кг

 

Задача 5.

Диаметр молекулярного облака – 2 св. года, концентрация частиц в нем - $10^4$ молекул в 1 см$^3$. Найдите массу этого облака, учитывая, что все молекулы – это $H_2$.

Решение: объем облака определяется формулой объема шара,

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Концентрация – это число частиц в объеме. Она равна (переведем ее при подсчетах в СИ)

$$n=\frac{N}{V}$$

Число частиц равно

$$N=nV=\frac{4}{3}n \pi R^3$$

Масса облака равна (все единицы подставлены в СИ)

$$M=Nm_0=\frac{4}{3} n\pi R^3 m_0=\frac{4}{3} \cdot 10^10\cdot \pi  \cdot (9,46\cdot 10^{15})^3 \cdot 3,32\cdot10{-26}=3,7\cdot10^{32}$$

Ответ: $3,7\cdot10^{32}$ кг

 

Задача 6.

Звезда в спиральной галактике M51 в созвездии Гончих Псов излучает в 70 раз больше энергии, чем Солнце. Ее температура составляет 11700 К. Определите радиус звезды.

Решение. Применим закон Стефана-Больцмана: полная энергия, излучаемая за 1 с абсолютно черным телом с единицы поверхности равна

$$E=\sigma T^4=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 11700^4=1,062\cdot 10^9$$

Светимость Солнца равна $4\cdot10^{26}$ Вт, значит, звезда из созвездия Гончих Псов имеет светимость $280\cdot10^{26}$ Вт – в 70 раз больше. Тогда площадь поверхности такой звезды равна

$$S=4\pi R^2=\frac{L}{E}$$

Откуда

$$R=\sqrt{\frac{L}{4\pi E}}=\sqrt{\frac{280\cdot10^{26}}{4\pi \cdot 1,062\cdot 10^9}}=14,5\cdot 10^8$$

Ответ: $R=14,5\cdot 10^8$ м.

 

Задача 7.

Какую температуру должна иметь  звезда, чтобы максимум в её спектре приходился на область ультрафиолетового излучения?

Длины волн ультрафиолетового излучения лежат в интервале от  10 до 400 нм. Тогда температура звезды должна быть по закону Вина от

$$T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{4\cdot 10^{-7}}=7250$$

До

$$T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{10^{-8}}=290000$$

Ответ: от 7250 К до 290 тыс. К.

Задача 8.

Один из спутников отстоит от центра планеты на 185000 км и имеет период обращения 0,94 сут. Найдите массу Сатурна.

Решение. Согласно третьему обобщенному закону Кеплера

$$T^2=\frac{4\pi^2 a^3}{G(m+M)}$$

$$M+m=\frac{4\pi^2 a^3}{GT^2}=\frac{4\pi^2\cdot 185000000^3}{6,67\cdot10^{-11}\cdot 81216^2}=5,68\cdot 10^{26}$$

Мы перевели для расчета период в с, а расстояние – в м. Получили ответ в кг. Массой спутника пренебрегли по сравнению с массой Сатурна.

Ответ: $M=5,68\cdot 10^{26}$ кг.

Задача 9.

Диаметр зрачка – 5 мм. Определите теоретическое разрешение глаза.

Решение. Разрешающую способность глаза или оптического прибора можно определить по формуле

$$\varphi_{min}=1,22\frac{\lambda}{D}$$

Где $\lambda=550\cdot10^{-9}$, $D$ - диаметр зрачка.

$$\varphi_{min}=1,22\frac{550\cdot10^{-9}}{5\cdot10^{-3}}=0,134\cdot10^{-3}$$

Это угол в радианах, переведем в с: 28 с.

Ответ: 28 с