Эксцентриситеты орбит (первый закон Кеплера)

В этой статье решаем задачи на определение эксцентриситетов орбит различных объектов. Задачи взяты с сайта «myastronomy.ru».

Задача 1.

Из всех орбит больших планет Солнечной системы орбита Венеры наиболее близка к окружности; её эксцентриситет всего 0,007. Сравните афелийное расстояние Венеры с перигелийным, если большая полуось орбиты планеты равна 108 млн.км.

Решение.

Перигелийное расстояние рассчитывается как

$$q=a\cdot (1-\varepsilon)=108\cdot (1-0,007)=107,24$$

Афелийное расстояние определим по формуле

$$Q=a\cdot(1+\varepsilon)=108\cdot(1+0,007)=108,76$$

Расстояния отличаются примерно на 1,5 млн. км.

Задача 2.

Орбита Меркурия, наоборот, существенно эллиптична: перигелийное расстояние планеты 0,31 а.е., афелийное - 0,47 а.е. Вычислите большую полуось и эксцентриситет орбиты Меркурия.

Решение. Большую полуось можно определить как

$$2a=q+Q$$

$$a=\frac{q+Q}{2}=\frac{0,31+0,47}{2}=0,39$$

Зная большую полуось и данные нам афелийное и перигелийное расстояния, можем определить эксцентриситет:

$$1-\varepsilon=\frac{q}{a}$$

$$\varepsilon=1-\frac{q}{a}=1-\frac{0,31}{0,39}=0,205$$

Ответ: большая полуось равна 0,39 а.е., эксцентриситет 0,205.

Задача 3.

Большая полуось орбиты планеты-гиганта Нептуна составляет 30,07 а.е., а эксцентриситет орбиты - 0,008. Большая полуось орбиты планеты-карлика Плутона - 39,5 а.е., эксцентриситет - 0,249. Может ли Плутон находиться ближе к Солнцу, чем Нептун?

Решение. Плутон мог бы находиться ближе к Солнцу, чем Нептун, если бы оказалось, что перигелийное расстояние Плутона меньше перигелийного расстояния Нептуна. Рассчитаем оба расстояния.

Перигелийное расстояние Нептуна

$$q_N=a\cdot (1-\varepsilon)=30,1\cdot (1-0,008)=29,85$$

Перигелийное расстояние Плутона

$$q_P=a\cdot (1-\varepsilon)=39,5\cdot (1-0,249)=29,66$$

Так как перигелийное расстояние Нептуна больше, чем Плутона, то Плутон  может оказаться ближе к Солнцу, чем Нептун.

Ответ: да.

Задача 4.

При наблюдении с Земли видимый угловой диаметр Солнца в течение года изменяется от 31'32" до 32'36". По этим данным вычислите эксцентриситет земной орбиты.

Решение.

К задаче 4

Один и тот же диаметр Солнца мы видим под разными углами, так как находимся от Солнца на различных расстояниях. Чем меньше расстояние от Солнца до наблюдателя, тем больше угол, и наоборот. Можно на основе теоремы синусов записать, что

$$\frac{D}{\sin \alpha}\propto q$$

$$\frac{D}{\sin \beta}\propto Q$$

Где $\alpha=32’36’’$, $\beta=31’32’’$.

Так как $q=a\cdot (1-\varepsilon)$, $Q=a\cdot(1+\varepsilon)$, то

$$a=\frac{q}{1-\varepsilon }=\frac{Q}{1+\varepsilon }$$

Откуда

$$q(1+\varepsilon)=Q(1-\varepsilon)$$

И

$$\varepsilon=\frac{Q-q}{Q+q}=\frac{\frac{D}{\sin \beta}-\frac{D}{\sin \alpha}}{\frac{D}{\sin \beta}+\frac{D}{\sin \alpha}}=\frac{\frac{1}{\sin \beta}-\frac{1}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\sin \beta}+\frac{1}{\sin \alpha}}=0,017$$

Ответ: 0,017

Задача 5.

Эксцентриситет орбиты Марса 0,093. Во сколько раз отличается количество энергии, получаемой планетой от Солнца в перигелии и афелии?

Решение. Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Марса.

$$q=a(1-\varepsilon)=0,907a$$

$$Q=a(1+\varepsilon)=1,093a$$

Тогда количество энергии, попадающей на поверхность планеты, будет пропорционально квадрату расстояния до нее (так как энергия светила равномерно распределена по поверхности сферы, радиусом которой является расстояние от светила до планеты)

$$\frac{E_Q}{E_q}=\frac{S_Q}{S_q}=\frac{Q^2}{q^2}=\frac{1,093^2}{0,907^2}=1,45$$

Ответ: в перигелии больше на 45%.

Задача 6.

Вследствие эллиптичности орбиты Меркурия его угловое удаление от Солнца в наибольшей элонгации может составлять от 18 до 28 градусов. По этим данным вычислите эксцентриситет орбиты Меркурия.

К задаче 6

Решение: угловое расстояние – угол между направлениями на Солнце и на Меркурий для земного наблюдателя. При этом наименьшее расстояние от Солнца до планеты может быть вычислено как

$$q=a\cdot \cos(90^{\circ}-18^{\circ})=1\cdot\cos 72^{\circ}=0,309$$

Где $a$ - большая полуось земной орбиты, 1 а.е.

А наибольшее

$$Q=1\cdot\cos 62^{\circ}=0,469$$

Тогда эксцентриситет рассчитаем по выведенной в задаче 4 формуле:

$$\varepsilon=\frac{Q-q}{Q+q}=\frac{0,469-0,309}{0,469+0,309}=0,2056$$

Ответ: 0,206