Эффект Допплера

Разбираем задачи по астрономии и готовимся к олимпиадам. Олимпиады по астрономии менее популярны, чем по физике и математике и конкурентов меньше.

Задача 1.

Вычислите модуль и направление лучевой скорости звезды, если в её спектре линия, соответствующая длине волны $\lambda = 5,5 \cdot 10^{-4}$ мм, смещена к фиолетовому концу на расстояние $5\cdot10^{-8}$ мм.

Решение. Смещение связано с эффектом Допплера, учесть его можно с помощью формулы:

$$\frac {\Delta \lambda}{\lambda_0}=\frac{\upsilon}{c}$$

$$\frac{5\cdot10^{-8}}{5,5\cdot 10^{-4}}=\frac{\upsilon}{3\cdot10^8}$$

Отсюда

$$\upsilon=27300$$

Скорость получилась в м/с.

Ответ: 30 км/с примерно. Направление лучевой скорости – на наблюдателя.

Задача 2.

Определите, через какое время звезда 16-й звёздной величины станет видна невооружённым глазом при приближении к Солнечной системе (тангенциальная скорость звезды равна нулю), если полосы поглощения линий водорода Н в её атмосфере смещены в фиолетовую область на $\Delta \lambda= 0,14$ нм ($\lambda_H= 422,6$ нм). Расстояние до звезды в начальный момент времени $r = 12$ пк.

Решение. Как и в предыдущей задаче, определим скорость звезды.

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}=\frac{\upsilon}{c}$$

$$\upsilon=\frac{\Delta \lambda\cdot c}{\lambda_0}=\frac{0,14\cdot 3\cdot 10^8}{422,6}=99400$$

Скорость приближения звезды 99,4 км/с.

Абсолютная звездная величина у звезды неизменна:

$$M=m_1+5+5\lg\frac{1}{r_1}$$

$$M=m_2+5+5\lg\frac{1}{r_2}$$

Можно приравнять правые части:

$$m_1+5+5\lg\frac{1}{r_1}=m_2+5+5\lg\frac{1}{r_2}$$

$$16+5+5\lg\frac{1}{r_1}=6+5+5\lg\frac{1}{r_2}$$

$$10=5\lg\frac{1}{r_2}-5\lg\frac{1}{r_1}$$

$$2=\lg\frac{1}{r_2}-\lg\frac{1}{r_1}$$

$$2=\lg\frac{r_1}{r_2}$$

$$\frac{r_1}{r_2}=100$$

$$r_2=0,12$$

Таким образом, чтобы стать видимой, звезде надо преодолеть $r_1-r_2=11,88$ парсека. При данной скорости это займет $3,6\cdot 10^12$ с, или 113 тысяч лет. При расчете я немного округлила скорость – до 100 км/с.

Ответ: 113 тысяч лет.

Задача 3.

Оцените плотность черной дыры в центре Галактики, если известно, что вокруг нее с периодом 15,2 года обращается звезда по эллиптической орбите с большой полуосью, равной 5,5 светового дня.

Решение. По третьему обобщенному закону Кеплера

$$T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}$$

Массой звезды по сравнению с массивной черной дырой можно пренебречь:

$$T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM}$$

Откуда

$$M=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$$

Однако для того, чтобы найти плотность, нужен и объем. А для определения объема нужен радиус. Тут надо посмотреть: а что еще в задаче дано? А ничего, кроме знания о том, что это черная дыра, которая даже свет не выпускает. Свет не пройдет… Значит, вторая космическая скорость для черной дыры равна скорости света!

$$c=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

$$c^2=\frac{2GM}{R}$$

$$R=\frac{2GM}{c^2}=\frac{2G}{c^2}\cdot \frac{4\pi^2a^3}{GT^2}=\frac{8\pi^2a^3}{c^2T^2}$$

Определяем плотность:

$$\rho=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}\cdot\frac{1}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}\cdot\frac{3c^6T^6}{4\pi\cdot 8^3\pi^6a^9}=\frac{3c^6T^4}{512G\pi^5 a^6}$$

Переводим все расстояния в м, периоды – в с, подставляем, считаем и получаем результат:

$$\rho=\frac{3c^6T^4}{512G\pi^5 a^6}=10^6$$

Ответ: $\rho=10^6$ кг/м$^3$.