Блеск кратных звезд - 2

Задачи на видимую и абсолютную звездные величины.

Задача 1.

Что ярче при наблюдении глазом — одна звезда $1^m$ , три звезды $2^m$ или пять звёзд $3^m$?

Решение:

Определим сначала визуальный блеск звезды $2^m$.

$$E_1=10^{-0,4m_1}=10^{-0,4\cdot 2}=0,16$$

И визуальный блеск звезды $3^m$.

$$E_2=10^{-0,4m_2}=10^{-0,4\cdot 3}=0,063$$

Блеск трех звезд $2^m$

$$E=3E_1=0,48$$

Видимая звездная величина трех звезд $2^m$

$$m=-2,5\lg E=0m,797$$

Блеск пяти звезд $3^m$

$$E’=5E_2=0,315$$

Видимая звездная величина пяти звезд $3^m$

$$m=-2,5\lg E’=1m,25$$

Ответ: ярче всего из трех представленных вариантов  - пять звезд $3^m$.

 

Задача 2.

Во сколько раз меняется блеск Марса, если его видимая звёздная величина колеблется в пределах от $+2, 0^m$ до $–2,6^m$ ?

Решение:

$$E_1=10^{-0,4m_1}=10^{-0,4\cdot 2}=0,16$$

$$E_2=10^{-0,4m_2}=10^{-0,4\cdot (-2,6)}=10,96$$

$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{10,96}{0,16}=68,5$$

Также можно было решить так: отличие видимой звездной величины – $4,6^m$, а блеск звезд соседних звездных величин отличается в 2,5 раза, таким образом, $2,5^{4,6}=67,7$ - что близко к полученному результату.

Ответ: в 68,5 раз.

Задача 3.

Сколько звёзд нулевой звёздной величины могут заменить свет, испускаемый всеми звёздами восьмой видимой звёздной величины, число которых близко к 26700?

Решение:

Определим сначала визуальный блеск звезды $8^m$.

$$E_1=10^{-0,4m_1}=10^{-0,4\cdot 8}=0,000631$$

Блеск 26700 звезд $8^m$

$$E=26700E_1=16,85$$

Видимая звездная величина 26700 звезд $8^m$

$$m=-2,5\lg E=-3m,07$$

Визуальный блеск звезды нулевой звездной величины:

$$E_2=10^{-0,4m_2}=10^{-0,4\cdot 0}=1$$

Получается, 17 звезд нулевой звездной величины.

Ответ: 17.

Задача 4.

Звёзд от $3^m$ до $4^m$ на небе около 400, а от $4^m$ до $5^m$ – около 1100. Какие из них в сумме ярче освещают Землю?

Решение:

Определим сначала визуальный блеск звезды $4^m$.

$$E_1=10^{-0,4m_1}=10^{-0,4\cdot 4}=0,025$$

Блеск 400 звезд $4^m$

$$E=400E_1=10,04$$

Определим визуальный блеск звезды $5^m$.

$$E_2=10^{-0,4m_2}=10^{-0,4\cdot 5}=0,01$$

Блеск 1100 звезд $5^m$

$$E=1100E_1=11$$

Последние, более тусклые, берут числом и ярче освещают Землю.

Задача 5.

Вычислить световой поток на Земле от Веги ($+0,0^m$), если световой поток от Солнца на орбите Земли – 1300 Вт/м$^2$ , а видимая звёздная величина Солнца составляет $–26,7^m$.

Решение. По формуле Погсона

$$-2,5\lg\frac{E_1}{E_2}=m_1-m_2$$

$$\frac{E_1}{E_2}=10^{-0,4(m_1-m_2)}$$

Пусть 1 – Вега, 2 – Солнце.

$$\frac{E_1}{E_2}=10^{-0,4(0-(-26,7))}=47,8\cdot 10^9$$

$$E_2=\frac{E_1}{47,8\cdot 10^9}=\frac{1300}{47,8\cdot 10^9}=2\cdot 10^{-8}$$

Ответ: $2\cdot 10^{-8}$  Вт.

Задача 6.

Звезда Сириус (α Большого Пса) с видимой звёздной величиной $–1, 58^m$ находится в 20 раз ближе к Земле, чем звезда Змеи, видимая звёздная величина которой $+3, 85^m$ . Какая из этих звёзд и во сколько раз кажется нам ярче, и какое отношение их светимости?

Решение. Отношение светимостей найти несложно:

$$\frac{L_1}{L_2}=10^{0,4(M_2-M_1)}$$

Где $M_1, M_2$ - абсолютные звездные величины.

$$M_1=m_1+5+5\lg\frac{1}{r_1}$$

$$M_2=m_2+5+5\lg\frac{1}{r_2}$$

$$ M_2- M_1=m_2-m_1+5\lg\frac{r_1}{r_2}=3,85-(-1,58)+5\lg\frac{1}{20}=-1,08$$

$$\frac{L_1}{L_2}=10^{0,4\cdot (-1,08)}=0,37$$

Разница между видимыми звездными величинами:

$$ m_2-m_1=5,43$$

А блеск звезд соседних звездных величин отличается в 2,5 раза, таким образом, одна звезда ярче другой в $2,5^{5,43}=144,8$.

Ответ: $\frac{L_1}{L_2}=0,37$, одна звезда ярче другой в 145 раз.

Задача 7.

Вычислите максимальное расстояние, с которого Солнце можно увидеть невооруженным глазом.

Солнце можно увидеть, если оно с данного расстояния будет иметь 6 видимую звездную величину. Вычислим абсолютную звездную величину Солнца:

$$M_{\odot}=m_{\odot}+5-5\lg r_1=-26,74+5-5\lg\frac{1}{206265}=4,83$$

Расстояние в а.е. мы выразили в парсеках.

Применим эту же формулу «наоборот», $m_1=6$:

$$M_{\odot}=m_1+5-5\lg r_2$$

$$5\lg r_2= m_1+5- M_{\odot}=6+5-4,83=6,17$$

$$\lg r_2=1,23$$

$$r_2=17,1$$

Ответ: с расстояния в 17 парсек Солнце будет выглядеть звездой 6 видимой звездной величины.

Задача Уильям Гершель за единицу расстояния в Галактике принял расстояние от Солнца до Сириуса, считая Сириус звездой, подобной Солнцу. Во сколько раз такая единица расстояния меньше настоящего расстояния между данными звездами? Годичный параллакс Сириуса $p = 0,37’’$, видимая звездная величина $1^m$.

Решение. Применим формулу для абсолютной звездной величины:

$$M_{\odot}=m+5-5\lg r$$

Если бы Сириус был подобен Солнцу, то имел бы такую же абсолютную звездную величину, тогда

$$5\lg r= m+5- M_{\odot}=1+5-4,8=1,2$$

$$r=1,737$$

А настоящее расстояние равно

$$r_{ist}=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,37}=2,7$$

Ответ: истинное расстояние от Солнца до Сириуса больше в 1,56 раза.