Астрономия: телескопы - 2

Задача 1.

Телескоп имеет объектив с диаметром 40 см и фокусным расстоянием 4 м. Какой нужен окуляр для достижения увеличения в 50 крат?

Решение. Изобразим объектив и окуляр и ход лучей через них:

К задаче 1

Так как увеличение в 50 крат, то лучи, пересекаясь в фокусе, образуют два треугольника с коэффициентом подобия 50. Таким образом, высоты этих треугольников также относятся как 50:1. То есть фокусное расстояние окуляра в 50 раз меньше фокусного расстояния объектива:

$$F_{ok}=\frac{F_{ob}}{50}=\frac{400}{50}=8$$

Ответ: 8 см.

Задача 2.

Астроном-любитель навёл телескоп на туманность и увидел её в виде едва заметно светящегося маленького пятнышка. Для того чтобы разглядеть его лучше, он вставил перед окуляром линзу Барлоу, которая в 3 раза увеличила эффективное фокусное расстояние его телескопа. Смог ли астроном-любитель лучше разглядеть туманность?

Решение. Рассмотрим линзу Барлоу и ее принцип действия:

Линза Барлоу

Установив линзу, астроном увеличил такую характеристику телескопа, как увеличение. Было:

$$W=\frac{F_{ob}}{F_{ok}}$$

Стало:

$$W’=\frac{3F_{ob}}{F_{ok}}$$

В этом случае изображение увеличится в 3 раза по ширине, но и по высоте тоже в 3 раза – а значит, площадь его возрастет в 9 раз. Но количество света, попавшее в телескоп (световой поток) не изменится! А значит, на единицу площади поверхности изображения будет приходиться в 9 раз меньше света. Таким образом, астроном не увидит туманность лучше.

Ответ: нет.

Задача 3.

Какое минимальное угловое расстояние между компонентами двойной звезды может быть разрешено в телескопы с объективами диаметром 20 см и 1 м? Телескоп считать равнозрачковым, угловое разрешение глаза – 1’.

Решение. Предельная разрешающая способность телескопа (то есть способность увидеть два близкорасположенных объекта не одной точкой, а двумя), определяется формулой:

$$\delta=1,22\frac{\lambda}{D}$$

Где $\lambda=540-550$ нм – длина волны видимого излучения, $D$ - диаметр объектива в метрах. Разрешение по этой формуле получим в радианах. Если надо получить в секундах, надо умножить полученное число радианов на 206265 – столько секунд содержится в радиане.

Можно также воспользоваться формулой

$$\delta=\frac{140’’}{D}$$

В ней $D$ - в мм. Получим:

$$\delta_1=\frac{140’’}{D_1}=\frac{140”}{200}=0,7”$$

$$\delta_2=\frac{140’’}{D_2}=\frac{140”}{1000}=0,14”$$

Но, хоть телескоп и позволит разрешить объекты на таких малых угловых расстояниях, глаз человека не позволит, так как его разрешающая способность – 1 минута.

Задача 4. Телескоп с диаметром объектива 6 см и относительным отверстием F/15 укомплектован окулярами с фокусным расстоянием 60 мм и 24 мм. Какое увеличение обеспечивает использование каждого из окуляров с этим телескопом? Определите минимальное угловое разрешение, доступное для визуальных наблюдений с данными окулярами. Можно ли с их помощью разрешить двойную систему с расстоянием между компонентами 2”? Считать, что разрешающая способность глаза равна 1”.
Решение. Предельная разрешающая способность телескопа (то есть способность увидеть два близкорасположенных объекта не одной точкой, а двумя), определяется формулой:

$$\delta=1,22\frac{\lambda}{D}$$

Где $\lambda=540-550$ нм – длина волны видимого излучения, $D$ - диаметр объектива в метрах. Разрешение по этой формуле получим в радианах. Если надо получить в секундах, надо умножить полученное число радианов на 206265 – столько секунд содержится в радиане.

Можно также воспользоваться формулой

$$\delta=\frac{140’’}{D}$$

Теперь $D$ - в мм. Получим одно и то же: 2,3”. Так как это больше 2”, то объекты мы увидим одной точкой – то есть разрешить не удастся.

Относительное отверстие – отношение диаметра к фокусному расстоянию объектива. Здесь оно задано в виде

$$D=\frac{F}{15}$$

$$F=15D=90$$

Фокусное расстояние равно 90 см.

Увеличение, даваемое первым окуляром:

$$\Gamma_1=\frac{F_{ob}}{F_{ok1}}=\frac{90}{6}=15$$

Для второго окуляра увеличение равно

$$\Gamma_2=\frac{F_{ob}}{F_{ok2}}=\frac{90}{2,4}=37,5$$

Вычислим разрешающую способность. Так как у глаза она равна 60”, то

$$\Gamma_1=\frac{d_{gl}}{D_{ob1}}$$

$$ D_{ob1}=\frac{d_{gl}}{\Gamma_1}=\frac{60”}{15}=4”$$

$$\Gamma_2=\frac{d_{gl}}{D_{ob2}}$$

$$ D_{ob2}=\frac{d_{gl}}{\Gamma_2}=\frac{60”}{37,5}=1,6”$$

Последняя разрешающая способность меньше вычисленной ранее для телескопа – 2,3”. Поэтому ответ: 4” и 2,3”.

Задача 5.

В трубу телескопа-рефрактора с диаметром объектива 10 см и фокусным расстоянием 1 м на расстоянии 10 см от объектива вставлена диафрагма, в центре которой есть круглое отверстие диаметром 7 см. Каково отличие предельной звездной величины в центре поля зрения такого телескопа от аналогичной величины без диафрагмы при визуальных наблюдениях? Для чего такая диафрагма может быть необходима?

Решение. Рассмотрим чертеж:

К задаче 5

Определим «эффективный» диаметр объектива. Так как диафрагма пропускает только те лучи, которые падают на расстоянии не более 3,5 см от ее центра, а остальные не пропускает, надо определить тот диаметр на линзе телескопа, внутри которого все лучи проникнут в диафрагму. Рассмотрим подобные треугольники $ABF$ и $A’B’F$. Для них:

$$\frac{A’B’}{F}=\frac{AB}{F-l}$$

$AB=7$ см, $l=10$ см, $F=1$ м.

$$\frac{A’B’}{100}=\frac{7}{90}$$

Откуда $A’B’$ - эффективный диаметр - $A’B’=\frac{70}{9}=7,8$ см.

По формуле Погсона:

$$m_d-m_t=-2,5\lg \frac{E_d}{E_t}$$

Где $m_d$ - видимая звездная величина, которую можно увидеть при наличии диафрагмы. $m_t$ - видимая звездная величина, которую можно увидеть без диафрагмы. $ E_d, E_t$ - освещенности.

$$ m_t -m_d =2,5\lg \frac{E_d}{E_t}$$

Так как освещенности относятся обратно тому, как относятся площади линз, то

$$ m_t -m_d =2,5\lg \frac{S_t}{S_d}=5\lg \frac{D}{A’B’}=5\lg \frac{10}{7,8}=0,54$$

Ответ: 0,54. Дополнительная диафрагма обычно вставляется для того, чтобы ослабить аберрации объектива, которые вносятся, в основном, краями линзы.