Тригонометрические неравенства - 5

Задача 17.

Решите неравенство:

$$\cos^2 x-\sin^2 2x \geqslant 0$$

Решение.

$$\cos^2 x-4\sin^2 x \cos^2 x \geqslant 0$$

$$\cos^2 x(1-4\sin^2 x) \geqslant 0$$

Во-первых, ${\frac{\pi}{2}+\pi n}$. Во-вторых, $1-4\sin^2 x \geqslant 0$, то есть $x \in [-\frac{\pi}{6}+\pi n; \frac{\pi}{6}+\pi n]$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6}+\pi n; \frac{\pi}{6}+\pi n] \cup \{\frac{\pi}{2}+\pi n\}, n \in Z$

Задача 18.

Решите неравенство:

$$\sin x \leqslant \sqrt{2\cos x+1}$$

Если $\sin x<0$, то $2\cos x+1\geqslant 0$, $\cos x \geqslant -\frac{1}{2}$. Решение неравенства - $x \in [-\frac{2\pi}{3}+2\pi k; 2\pi k]$.

Если $\sin x>0$, то $2\cos x+1\geqslant \sin^2 x$,

$$2\cos x+1\geqslant 1-\cos^2 x$$

$$\cos^2 x+2\cos x\geqslant 0$$

$$\cos x \geqslant 0$$

Решение этой части - $x \in [ 2\pi k; \frac{\pi}{2}+2\pi k]; k \in Z$.

Объединяем в ответ: $ x \in [-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;  \frac{\pi}{2}+2\pi k]; k \in Z$

Задача 19.

Решите неравенство:

$$(1+\sin x)^{\frac{1}{3}} \geqslant (\cos x)^{\frac{1}{3}}$$

Решение: корень нечетной степени, поэтому под ним может скрываться, что угодно. 

$$1+\sin x \geqslant \cos x$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x  \leqslant  \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\sin(\frac{\pi}{4}-x) \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}-x <\frac{9\pi}{4}+2\pi n$$

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n< -x<2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{2}-2\pi n <x<-2\pi n$$

А еще лучше

$$2\pi n < x < \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

Ответ: $2\pi n < x < \frac{3\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$

Задача 20.

Решите неравенство:

$$\sqrt{1-\sin x}>\sqrt{\cos x}$$

При условии $\cos x \geqslant 0$,

$$1-\sin x>\cos x$$

$$1> \cos x+\sin x$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x +\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x<\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\sin(\frac{\pi}{4}+x) <\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}+x <\frac{9\pi}{4}+2\pi n$$

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n < x < 2\pi n$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}+2\pi n < x < 2\pi n, n \in Z$