Тригонометрические неравенства - 4

Задача 13.

Решите неравенство:

$$\sqrt{3}\sin x \leqslant \cos x$$

Решение:

$$\sqrt{3}\sin x - \cos x \leqslant 0$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2} \cos x \leqslant 0$$

$$\sin (x-\frac{\pi}{6})\leqslant 0$$

Тогда

$$-\pi \leqslant x-\frac{\pi}{6}\leqslant 0$$

$$-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$

Задача 14.

Решите неравенство:

$$5\cos x(\sin x+\cos x)>\cos^2 x-\sin^2 x$$

Решение:

$$5\cos x\sin x+5\cos^2 x>\cos^2 x-\sin^2 x$$

$$4\cos^2 x+5\cos x\sin x+\sin^2 x>0$$

Разделим на $\cos^2 x$:

$$\operatorname{tg}^2 x+5\operatorname{tg}+4>0$$

Решение: $\operatorname{tg} x \in (-\infty; -4)\cup (-1; \infty)$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\pi-\operatorname{arctg}(4)+\pi k; k \in Z$

Задача 15.

Решите неравенство:

$$\cos x<\sqrt{2\sin x+1}$$

Решение. При условии, что $\cos x \geqslant 0$:

$$\cos^2 x<2\sin x+1$$

$$1-\sin^2 x<2\sin x+1$$

$$\sin^2 x+2\sin x>0$$

Решение этого неравенства - $\sin x>0$. Вкупе с условием, при котором решали, это дает нам первый квадрант без 0: $0<x\leqslant \frac{\pi}{2}$.

Если же $\cos x<0$, то решение –

$$2\sin x+1 \geqslant 0$$

$$\sin x \geqslant -\frac{1}{2}$$

Тогда $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}]$. Объединяем эти решения:

Ответ: $2\pi n<x\leqslant \frac{7\pi}{6}+2\pi n]$

Задача 16.

Решите неравенство:

$$\frac{4\cos x-3}{\operatorname{tg}x-\sqrt{3}}<0$$

Решение. Первый случай:

$$\begin{Bmatrix}{4\cos x-3>0}\\{\operatorname{tg}x-\sqrt{3}<0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{4\cos x>3}\\{\operatorname{tg}x<\sqrt{3}}\end{matrix}$$

Решение системы - $x \in (-\arccos \frac{3}{4}; \arccos \frac{3}{4})$.

Второй случай:

$$\begin{Bmatrix}{4\cos x-3<0}\\{\operatorname{tg}x-\sqrt{3}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{4\cos x<3}\\{\operatorname{tg}x>\sqrt{3}}\end{matrix}$$

Решение системы - $x \in (\frac{\pi}{3}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n); n \in Z$.

Решение уравнения – объединение решений обеих систем.

Ответ: $x \in (-\arccos \frac{3}{4}+2 \pi n; \arccos \frac{3}{4}+ 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{3}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n); n \in Z$.