Простая физика
Категория:
Тригонометрия ...Тригонометрические неравенства - 3
Задача 9.
Решите неравенство:
$$\sin x+\cos x \geqslant 1$$
Решение. Воспользуемся дополнительным углом, для этого разделим на $\sqrt{2}$.
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Решение этого неравенства - $\frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{\pi}{4}+x \leqslant \frac{3\pi}{4}+ 2\pi n$
$$2 \pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}+2 \pi n$$
Ответ: $ 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z $
Задача 10.
Решите неравенство:
$$3\sin^2 x-\sin x\cos x - 2\cos^2 x\leqslant 0$$
$$3\operatorname{tg^2} x-\operatorname{tg} x -2\leqslant 0$$
Решение методом интервалов $-\frac{2}{3}\leqslant \operatorname{tg} x \leqslant 1$.
Ответ: $x \in [-\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+\pi n;\ \ \ \ \frac{\pi}{4}+\pi n], \ \ \ \ n \in Z $
Задача 11.
Решите неравенство:
$$\mid 2\cos x -1 \mid \leqslant \mid 3\cos x +1 \mid$$
Либо (снимаем модули с плюсом)
$$2\cos x -1 \leqslant 3\cos x +1 $$
Тогда
$$\cos x \geqslant -2$$
Что всегда выполняется.
Либо
$$ 1-2\cos x \leqslant 3\cos x +1 $$
$$5\cos x \geqslant 0$$
$$\cos x \geqslant 0$$
У этого последнего простое решение:
Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\ \ \ \ \frac{5\pi}{2}+2\pi n],\ \ \ \ n \in Z$
Задача 12.
Решите неравенство:
$$2\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}>1$$
Введем дополнительный угол:
$$\frac{2}{\sqrt{5}}\sin \frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cos\frac{x}{2}>\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\sin (\frac{x}{2}-\varphi) >\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Тогда
$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}+ 2\pi n<\frac{x}{2}-\varphi<\pi-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+ 2\pi n$$
Мы ввели дополнительный угол $\varphi$, такой, что $\sin \varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}$, поэтому
$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}+ 2\pi n<\frac{x}{2}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}<\pi-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+ 2\pi n$$
$$2\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}+ 2\pi n<\frac{x}{2}<\pi+ 2\pi n$$
$$4\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}+ 4\pi n<x<2\pi+ 4\pi n$$
Ответ: $4\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}+ 4\pi n<x<2\pi+ 4\pi n$