Тригонометрические неравенства - 1

Задача 1.

Решите неравенство:

$$2\sin \frac{x}{2}\leqslant -1$$

Решение.

$$\sin \frac{x}{2}\leqslant -\frac{1}{2}$$

Поэтому

$$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi k \leqslant \frac{x}{2} \leqslant -\frac{\pi}{6}+ 2\pi k$$

$$-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k;\ \ \ \  k \in Z$

Задача 2.

Решите неравенство:

$$\cos\left(2x- \frac{\pi}{4}\right)\leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение.

$$\frac{3\pi}{4}+2 \pi k \leqslant 2x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{5\pi}{4}+ 2\pi k$$

$$\pi+2 \pi k \leqslant 2x \leqslant \frac{3\pi}{2}+ 2\pi k$$

$$\frac{\pi}{2}+ \pi k \leqslant  x \leqslant \frac{3\pi}{4}+ \pi k$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}+ \pi k \leqslant  x \leqslant \frac{3\pi}{4}+ \pi k;\ \ \ \  k \in Z$

Задача 3.

Решите неравенство:

$$\mid \sin \pi x \mid <\frac{1}{2}$$

Решение.

$$-\frac{1}{2}<\sin \pi x < \frac{1}{2}$$

$$x \in \left(-\frac{1}{6}+2 k; \ \ \ \  \frac{1}{6}+2 k \right) \cup \left(\frac{5}{6}+2k \ \ \ \ ; \frac{7}{6}+2 k \right)$$

Или

$$x \in \left(n-\frac{1}{6};\ \ \ \  n+\frac{1}{6} \right)$$

Ответ: $x \in \left(n-\frac{1}{6};\ \ \ \ n+\frac{1}{6}\right),\ \ \ \  n \in Z$

Задача 4.

Решите неравенство:

$$\cos(\pi\sin x)\leqslant \frac{1}{2}$$

Решение.

$$\frac{\pi}{3} \leqslant \pi\sin x \leqslant \frac{5\pi}{3}$$

Но лучше, конечно, записать так:

$$\begin{Bmatrix}{-\pi\leqslant \pi\sin x \leqslant -\frac{\pi}{3}}\\{\frac{\pi}{3}\leqslant \pi\sin x \leqslant \pi}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-1\leqslant \sin x \leqslant -\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}\leqslant \sin x \leqslant 1}\end{matrix}$$

Ответ: $x \in \left(\arcsin \frac{1}{3}+ \pi n; \pi-\arcsin\frac{1}{3}+ \pi n;\ \ \ \  n \in Z \right)$