Тригонометрические неравенства - 2

Задача 5.

Решите неравенство:

$$2\sin^2 x+\sin x>0$$

Решение. Замена $t=\sin x$.

$$t<-\frac{1}{2};\ \ \ \  t>0$$

Но лучше, конечно, записать так:

$$\begin{Bmatrix}{\sin x >0}\\{\sin x <-\frac{1}{2}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{2\pi n< x <\pi+2\pi n}\\{-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n}\end{matrix}$$

Ответ: $x \in (2\pi n; \pi+2\pi n) \cup (-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n), n \in Z $

Задача 6.

Решите неравенство.

$$\cos \frac{x}{2}\geqslant 2\cos x$$

Замена $\frac{x}{2}=t$:

$$\cos t\geqslant 2\cos 2t$$

$$\cos t\geqslant 2(2\cos^2 t-1)$$

$$4\cos^2 t- \cos t-2\leqslant 0$$

Решение этого неравенства: $\frac{1-\sqrt{33}}{8}\leqslant \cos t\leqslant \frac{1+\sqrt{33}}{8}$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x}{2}\geqslant -\pi+\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+2\pi n }\\{\frac{x}{2}\leqslant -\arccos \frac{1+\sqrt{33}}{8}+2\pi n }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x}{2}\geqslant\arccos \frac{\sqrt{33}+1}{8}+2\pi n }\\{\frac{x}{2}\leqslant \pi-\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+2\pi n }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\geqslant -2\pi+2\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+4\pi n }\\{x\leqslant -2\arccos \frac{1+\sqrt{33}}{8}+4\pi n }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x \geqslant 2\arccos \frac{\sqrt{33}+1}{8}+4\pi n }\\{x \leqslant 2\pi-2\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+4\pi n }\end{matrix}$$

Ответ: $x \in \left[-2\pi+2\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+4\pi n;  -2\arccos \frac{1+\sqrt{33}}{8}+4\pi n \right]$    $ \cup \left[2\arccos \frac{\sqrt{33}+1}{8}+4\pi n ; 2\pi-2\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}+4\pi n \right]$

Задача 7.

Решите неравенство:

$$\sqrt{3}\sin x\leqslant \cos x$$

Решение: если $\cos x>0$, то

$$\sqrt{3}\operatorname{tg} x\leqslant 1$$

$$\operatorname{tg} x\leqslant\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Решение этого неравенства $x \in [\frac{3\pi}{2}; \frac{13\pi}{6}]$

Если же $\cos x<0$, то

$$\sqrt{3}\operatorname{tg} x\geqslant -1$$

$$\operatorname{tg} x\geqslant-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Решение этого неравенства $x \in [\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$

Ответ: $x \in [\frac{7\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}]$

Задача 8.

Решите неравенство:

$$\cos^2 x-\sin^2 2x\geqslant 0$$

$$\cos^2 x-4\sin^2 x\cos^2 x\geqslant 0$$

$$\cos^2 x(1-4\sin^2 x)\geqslant 0$$

Можно так оставить, можно и так:

$$(1-\sin^2 x)( 1-4\sin^2 x)\geqslant 0$$

Тогда методом интервалов получим $\sin x \leqslant -1$, и $\sin x \geqslant 1$, и $-\frac{1}{2} \leqslant \sin x \leqslant \frac{1}{2}$. То есть $\sin x = -1$, и $\sin x = 1$, и $-\frac{1}{2} \leqslant \sin x \leqslant \frac{1}{2}$. Решение будет таким:

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{2}+\pi n \} \cup [-\frac{\pi}{6}+ \pi n;\ \ \ \  \frac{\pi}{6}+\pi n]$