Нестандартные задачи по тригонометрии (из экзамена Профи для учителей)

Задача 1.

Вычислить $\arcsin(\cos 5)$.

Решение.

$$\arcsin(\cos 5)=\arcsin(\cos (2\pi-5))$$

Используем следующее: $\arcsin \alpha+\arccos(\alpha)=\frac{\pi}{2}$, тогда $\arcsin \alpha=\frac{\pi}{2}-\arccos(\alpha)$.

У нас

$$\arcsin(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-\arccos(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-2\pi+5=5-\frac{3\pi}{2}$$

Ответ: $\arcsin(\cos 5)= 5-\frac{3\pi}{2}$

Задача 2.

Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой $x\sin 165^{\circ}+y\cos 165^{\circ}=1$.

Решение. Представим данное уравнение прямой в виде:

$$y=\frac{1}{\cos 165^{\circ}}-x\operatorname {tg}165^{\circ}$$

Коэффициент наклона данной прямой - $k=-\operatorname {tg}165^{\circ}$. У прямой, перпендикулярной данной, коэффициент наклона $k_1=\frac{1}{\operatorname {tg}165^{\circ}}$.

Уравнение прямой будет выглядеть примерно так:

$$y_1\sin165^{\circ}=1+x \cos 165$$

Или

$$-y_1\sin15^{\circ}=1+x \cos 15$$

Или

$$ x \sin 105-y_1\cos 105^{\circ}=1$$

Ответ: $ x \sin 105-y_1\cos 105^{\circ}=1$

Задача 3.

Если

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 3\cos x+4\cos y=1 \\ 3\sin x-4\sin y =2\end{matrix}$$

То чему равен $\cos (x+y)$?

Решение. Возведем оба уравнения в квадрат:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 9\cos^2 x+24\cos x\cos y+16\cos^2 y=1 \\ 9\sin^2 x- 24\sin x\sin y +16\sin^2 y =4\end{matrix}$$

Сложим уравнения:

$$9+24\cos x\cos y-24\sin x\sin y+16=5$$

$$24(\cos x\cos y-\sin x\sin y)=-20$$

$$\cos x\cos y-\sin x\sin y=-\frac{20}{24}=-\frac{5}{6}$$

$$\cos (x+y)= -\frac{5}{6}$$

Ответ: $\cos (x+y)= -\frac{5}{6}$