"Арки" - обратные тригонометрические функции. Теория и уравнения

В этой статье рассмотрим свойства обратных тригонометрических функций и будем решать уравнения с ними.
Сначала – немного теории. Первая функция - арксинус:

Функция возрастающая,

Функция нечетная:

Область значений

Вторая функция – арккосинус.

Свойство:

Функция убывающая,

Функция не является ни четной, ни нечетной, . Область значений

Далее – арктангенс.

Функция нечетная:

Область значений

Наконец, арккотангенс.

Функция нечетная:

Область значений

Некоторые свойства:

Выразим одни функции через другие:

При условии

При условии

При условии

При условии

И, наконец, некоторые соотношения, которые можно использовать при решении уравнений.

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

4. Если , то .

5. Если , то .

6. Если , то .

А теперь некоторые примеры решения уравнений:

Задача 1.

Решите уравнение:

Решение. Так как , то

Решений нет.

Ответ: решений нет.

 

Задача 2.

Решите уравнение:

Уравнение квадратное:

Дискриминант:

Корни:

Ответ: и .

 

Задача 3.

Решите уравнение:

Так как , то

Ответ: , .

 

Задача 4.

Решите уравнение:

Пусть таков, что , тогда , и

Берем синус от обеих частей:

Согласно основному тригонометрическому тождеству

Так как  (),  то корень один:

Ответ: .

Дополнительные примеры решения уравнений, а также и неравенств – в следующих статьях.