"Арки" - обратные тригонометрические функции. Теория и уравнения

В этой статье рассмотрим свойства обратных тригонометрических функций и будем решать уравнения с ними.
Сначала – немного теории. Первая функция - арксинус:

$$y=\arcsin x$$

Функция возрастающая, $D(f) \in [-1; 1]$

Функция нечетная:

$$\arcsin(-x)=-\arcsin x$$

Область значений

$$E(\arcsin (x))=[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$$

Вторая функция – арккосинус.

$$y=\arccos x$$

Свойство:

$$\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)$$

Функция убывающая, $D(f) \in [-1; 1]$

Функция не является ни четной, ни нечетной, $D(f) \in [-\infty; \infty]$. Область значений

$$E(\arccos (x))=[0; \pi ]$$

Далее – арктангенс.

$$y=\operatorname{arctg} x$$

Функция нечетная:

$$\operatorname{arctg} (-x)=- \operatorname{arctg} x $$

Область значений

$$E(\operatorname{arctg} x)=[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

Наконец, арккотангенс.

$$y=\operatorname{arсctg} x$$

Функция нечетная:

$$\operatorname{arcсtg} (-x)=\pi- \operatorname{arcctg} x $$

Область значений

$$E(\operatorname{arctg} (x)=[0; \pi ]$$

Некоторые свойства:

$$\arccos (x)+ \arcsin (x)=\frac{\pi}{2}$$

$$\operatorname{arcсtg}(x)+ \operatorname{arcсtg}(x)= \frac{\pi}{2}$$

Выразим одни функции через другие:

$$\arcsin (x)= \arccos \sqrt{1-x^2}=\operatorname{arcсtg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\operatorname{arcсtg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$

При условии $0<x<1$

$$ \arccos (x)= \arcsin \sqrt{1-x^2}=\operatorname{arcсtg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\operatorname{arcсtg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

При условии $0<x<1$

$$\operatorname{arctg} x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\operatorname{arcсtg}\frac{1}{x}$$

При условии $x>0$

$$\operatorname{arcctg} x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\operatorname{arctg}\frac{1}{x}$$

При условии $x>0$

И, наконец, некоторые соотношения, которые можно использовать при решении уравнений.

1. Если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$.

2. Если $\operatorname{arctg} f(x)=\operatorname{arcctg} g(x)$, то $f(x)\cdot g(x)=1$.

3. Если $\arcsin f(x)= \operatorname{arcctg} g(x)$, то $f^2(x)=\frac{1}{g^2(x)+1}$.

4. Если $\operatorname{arctg} f(x)= \arccos g(x)$, то $g^2(x)=\frac{1}{f^2(x)+1}$.

5. Если $ \arcsin f(x)= \operatorname{arctg} g(x)$, то $f^2(x)=\frac{ g^2(x)}{g^2(x)+1}$.

6. Если $\arccos f(x) =\operatorname{arcctg} g(x)$, то $f^2(x)=\frac{ g^2(x)}{g^2(x)+1}$.

А теперь некоторые примеры решения уравнений:

Задача 1.

Решите уравнение:

$$2\arccos(x)+ \arcsin(x)=\frac{11\pi}{6}$$

Решение. Так как $\arccos (x)+ \arcsin (x)=\frac{\pi}{2}$, то

$$\arccos(x)+ \frac{\pi}{2}= \frac{11\pi}{6}$$

$$\arccos(x)= \frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}$$

Решений нет.

Ответ: решений нет.

 

Задача 2.

Решите уравнение:

$$\arccos^2 (x) + \arcsin^2 (x)=\frac{5\pi^2}{36}$$

$$\left(\frac{\pi}{2}-\arccos (x)\right)^2+ \arccos^2 (x)=\frac{5\pi^2}{36}$$

Уравнение квадратное:

$$\frac{\pi^2}{4}-\pi\cdot \arccos (x)+ 2\arccos^2 (x)=\frac{5\pi^2}{36}$$

$$2\arccos^2 (x) -\pi\cdot \arccos (x)+\frac{\pi^2}{9}=0$$

Дискриминант:

$$D=\pi^2-4\cdot \frac{\pi^2}{9}\cdot 2 =\frac{\pi^2}{9}$$

$$\arccos x=\frac{\pi \pm \frac{\pi}{3}}{4}$$

Корни:

$$x=\cos \frac{\pi}{3}$$

$$x=\cos \frac{\pi}{6}$$

$$x=\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

 

Задача 3.

Решите уравнение:

$$\arccos^2 (x) + 2\arcsin (x) \arccos (x)=\frac{5\pi^2}{36}$$

$$(\arccos (x) + \arcsin (x))^2=\frac{5\pi^2}{36}+\arcsin^2(x)$$

Так как $\arccos (x) + \arcsin (x)=\frac{\pi}{2}$, то

$$\frac{\pi^2}{4}-\frac{5\pi^2}{36}=\arcsin^2(x)$$

$$\frac{4\pi^2}{36}=\arcsin^2(x)$$

$$\left(\arcsin (x)-\frac{\pi}{3}\right) \left(\arcsin (x)+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$x_1=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x_2=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

 

Задача 4.

Решите уравнение:

$$\arcsin (6x) + \arcsin (6\sqrt{3}x) =-\frac{\pi}{2}$$

$$\arcsin (6x)  =-\frac{\pi}{2}-\arcsin (6\sqrt{3}x)$$

Пусть $y$ таков, что $\sin y=6\sqrt{3}x$, тогда $\arcsin (6\sqrt{3}x)=y$, и

$$\arcsin (6x)  =-\frac{\pi}{2}-y$$

Берем синус от обеих частей:

$$6x=-\sin(\frac{\pi}{2}+y)=-\cos y$$

Согласно основному тригонометрическому тождеству

$$36y^2+36\cdot 3x^2=1$$

$$144x^2=1$$

Так как $\cos y>0$  ($-\frac{\pi}{2}\leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$),  то корень один:

$$x=-\frac{1}{12}$$

Ответ: $x=-\frac{1}{12}$.

Дополнительные примеры решения уравнений, а также и неравенств – в следующих статьях.